論文の概要: Monte Carlo Neural PDE Solver for Learning PDEs via Probabilistic
Representation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2302.05104v2
- Date: Thu, 23 Nov 2023 11:13:07 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-11-28 04:43:24.802488
- Title: Monte Carlo Neural PDE Solver for Learning PDEs via Probabilistic
Representation
- Title(参考訳): 確率的表現によるPDE学習のためのモンテカルロニューラルPDE解法
- Authors: Rui Zhang, Qi Meng, Rongchan Zhu, Yue Wang, Wenlei Shi, Shihua Zhang,
Zhi-Ming Ma, Tie-Yan Liu
- Abstract要約: 教師なしの方法でニューラルソルバを訓練することが不可欠である。
既存の手法は妥当な精度を達成し、重要な計算課題と不正確なシミュレーションをもたらす。
PDEの確率的表現を用いて教師なしニューラルソルバを訓練するためのモンテカルロPDEソルバを提案する。
対流拡散, アレン・カーン, ナヴィエ・ストークス方程式に関する実験により, 精度と効率が著しく向上した。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 62.017505017414564
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In scenarios with limited available or high-quality data, training the
function-to-function neural PDE solver in an unsupervised manner is essential.
However, the efficiency and accuracy of existing methods are constrained by the
properties of numerical algorithms, such as finite difference and
pseudo-spectral methods, integrated during the training stage. These methods
necessitate careful spatiotemporal discretization to achieve reasonable
accuracy, leading to significant computational challenges and inaccurate
simulations, particularly in cases with substantial spatiotemporal variations.
To address these limitations, we propose the Monte Carlo Neural PDE Solver
(MCNP Solver) for training unsupervised neural solvers via the PDEs'
probabilistic representation, which regards macroscopic phenomena as ensembles
of random particles. Compared to other unsupervised methods, MCNP Solver
naturally inherits the advantages of the Monte Carlo method, which is robust
against spatiotemporal variations and can tolerate coarse step size. In
simulating the random walk of particles, we employ Heun's method for the
convection process and calculate the expectation via the probability density
function of neighbouring grid points during the diffusion process. These
techniques enhance accuracy and circumvent the computational memory and time
issues associated with Monte Carlo sampling, offering an improvement over
traditional Monte Carlo methods. Our numerical experiments on
convection-diffusion, Allen-Cahn, and Navier-Stokes equations demonstrate
significant improvements in accuracy and efficiency compared to other
unsupervised baselines. The source code will be publicly available at:
https://github.com/optray/MCNP.
- Abstract(参考訳): 利用可能なデータや高品質のデータに制限のあるシナリオでは、教師なしの方法で関数から関数へのニューラルPDEソルバを訓練することが不可欠である。
しかし、既存の手法の効率性と精度は、有限差分法や擬スペクトル法といった数値アルゴリズムの特性によって制約される。
これらの手法は、適切な精度を達成するために、慎重な時空間離散化を必要とし、特に相当な時空間変動のある場合において、重要な計算課題と不正確なシミュレーションをもたらす。
これらの制限に対処するため,我々は,マクロ現象をランダム粒子のアンサンブルとして扱うpdesの確率表現を介して教師なしニューラルネットワークを学習するためのモンテカルロ神経pdeソルバ(mcnpソルバ)を提案する。
他の教師なし法と比較して、mcnpソルバは自然にモンテカルロ法の利点を継承しており、これは時空間の変動に対して頑健であり、粗いステップサイズを許容できる。
粒子のランダムウォークをシミュレートするために, 対流過程に heun 法を適用し, 拡散過程における近傍格子点の確率密度関数による期待値を計算した。
これらの技術は精度を高め、モンテカルロサンプリングに関連する計算メモリと時間問題を回避し、従来のモンテカルロ法よりも改善した。
対流拡散, アレン・カーン, ナヴィエ・ストークス方程式に関する数値実験により, 他の教師なしベースラインと比較して精度と効率が著しく向上した。
ソースコードは、https://github.com/optray/MCNPで公開される。
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