論文の概要: Monte Carlo Neural PDE Solver for Learning PDEs via Probabilistic Representation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2302.05104v3
- Date: Sun, 19 May 2024 04:47:55 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-22 01:10:43.961058
- Title: Monte Carlo Neural PDE Solver for Learning PDEs via Probabilistic Representation
- Title（参考訳）: 確率的表現によるPDE学習のためのモンテカルロニューラルPDE解法
- Authors: Rui Zhang, Qi Meng, Rongchan Zhu, Yue Wang, Wenlei Shi, Shihua Zhang, Zhi-Ming Ma, Tie-Yan Liu,
- Abstract要約: 教師なしニューラルソルバのトレーニングのためのモンテカルロPDEソルバを提案する。
我々は、マクロ現象をランダム粒子のアンサンブルとみなすPDEの確率的表現を用いる。
対流拡散, アレン・カーン, ナヴィエ・ストークス方程式に関する実験により, 精度と効率が著しく向上した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 59.45669299295436
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In scenarios with limited available data, training the function-to-function neural PDE solver in an unsupervised manner is essential. However, the efficiency and accuracy of existing methods are constrained by the properties of numerical algorithms, such as finite difference and pseudo-spectral methods, integrated during the training stage. These methods necessitate careful spatiotemporal discretization to achieve reasonable accuracy, leading to significant computational challenges and inaccurate simulations, particularly in cases with substantial spatiotemporal variations. To address these limitations, we propose the Monte Carlo Neural PDE Solver (MCNP Solver) for training unsupervised neural solvers via the PDEs' probabilistic representation, which regards macroscopic phenomena as ensembles of random particles. Compared to other unsupervised methods, MCNP Solver naturally inherits the advantages of the Monte Carlo method, which is robust against spatiotemporal variations and can tolerate coarse step size. In simulating the trajectories of particles, we employ Heun's method for the convection process and calculate the expectation via the probability density function of neighbouring grid points during the diffusion process. These techniques enhance accuracy and circumvent the computational issues associated with Monte Carlo sampling. Our numerical experiments on convection-diffusion, Allen-Cahn, and Navier-Stokes equations demonstrate significant improvements in accuracy and efficiency compared to other unsupervised baselines. The source code will be publicly available at: https://github.com/optray/MCNP.
- Abstract（参考訳）: 利用可能な限られたデータを持つシナリオでは、教師なしの方法で関数から関数へのニューラルPDEソルバを訓練することが不可欠である。
しかし、既存の手法の効率性と精度は、有限差分法や擬スペクトル法といった数値アルゴリズムの特性によって制約される。
これらの手法は、適切な精度を達成するために、慎重な時空間離散化を必要とし、特に相当な時空間変動のある場合において、重要な計算課題と不正確なシミュレーションをもたらす。
これらの制約に対処するために、PDEの確率的表現を用いて教師なしニューラルネットワークを訓練するためのモンテカルロ・ニューラルPDEソルバー(MCNPソルバー)を提案する。
他の教師なし手法と比較して、MCNPソルバーはモンテカルロ法(英語版)の利点を自然に受け継いでいる。
粒子の軌道をシミュレートするために, 対流過程にHeunの手法を用い, 拡散過程中に隣接する格子点の確率密度関数を用いて期待値を計算する。
これらの技術は精度を高め、モンテカルロサンプリングに関連する計算問題を回避している。
対流拡散, アレン・カーン, ナヴィエ・ストークス方程式に関する数値実験により, 他の教師なしベースラインと比較して精度と効率が著しく向上した。
ソースコードは、https://github.com/optray/MCNPで公開されます。
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