論文の概要: Variational formulations of ODE-Net as a mean-field optimal control problem and existence results

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.05924v4
• Date: Sun, 20 Oct 2024 15:13:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-22 13:10:51.369414
• Title: Variational formulations of ODE-Net as a mean-field optimal control problem and existence results
• Title（参考訳）: 平均場最適制御問題としてのODE-Netの変分定式化とその存在結果
• Authors: Noboru Isobe, Mizuho Okumura,
• Abstract要約: 本稿では,ディープニューラルネットワーク(DNN)の連続体モデルであるODE-Netの数学的解析について述べる。 近年、機械学習の研究者たちは、DNNの深い構造をODEに置き換えるアイデアを連続的な制限として導入している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: This paper presents a mathematical analysis of ODE-Net, a continuum model of deep neural networks (DNNs). In recent years, Machine Learning researchers have introduced ideas of replacing the deep structure of DNNs with ODEs as a continuum limit. These studies regard the "learning" of ODE-Net as the minimization of a "loss" constrained by a parametric ODE. Although the existence of a minimizer for this minimization problem needs to be assumed, only a few studies have investigated its existence analytically in detail. In the present paper, the existence of a minimizer is discussed based on a formulation of ODE-Net as a measure-theoretic mean-field optimal control problem. The existence result is proved when a neural network, which describes a vector field of ODE-Net, is linear with respect to learnable parameters. The proof employs the measure-theoretic formulation combined with the direct method of Calculus of Variations. Secondly, an idealized minimization problem is proposed to remove the above linearity assumption. Such a problem is inspired by a kinetic regularization associated with the Benamou--Brenier formula and universal approximation theorems for neural networks. The proofs of these existence results use variational methods, differential equations, and mean-field optimal control theory. They will stand for a new analytic way to investigate the learning process of deep neural networks.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,ディープニューラルネットワーク(DNN)の連続体モデルであるODE-Netの数学的解析について述べる。 近年、機械学習の研究者たちは、DNNの深い構造をODEに置き換えるアイデアを連続的な制限として導入している。 これらの研究は、ODE-Netの「学習」をパラメトリックODEによって制約された「ロス」の最小化とみなしている。 この最小化問題に対する最小化器の存在を仮定する必要があるが、その存在を詳細に分析する研究はごくわずかである。 本稿では,量論的平均場最適制御問題としてODE-Netの定式化に基づいて,最小化器の存在について論じる。 ODE-Netのベクトル場を記述するニューラルネットワークが学習可能なパラメータに対して線形である場合、その存在が証明される。 この証明は測度理論の定式化と変分計算の直接的な方法を組み合わせたものである。 次に、上記の線形性仮定を除去するために、理想化された最小化問題を提案する。 このような問題は、ベナモ-ブレーニエの公式とニューラルネットワークの普遍近似定理に付随する運動正則化にインスパイアされている。 これらの存在の証明は、変分法、微分方程式、平均場最適制御理論を用いている。 彼らは、ディープニューラルネットワークの学習過程を研究するための、新しい分析方法を模索する。

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