論文の概要: Border Ranks of Positive and Invariant Tensor Decompositions: Applications to Correlations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2304.13478v1
• Date: Wed, 26 Apr 2023 12:05:18 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-27 14:19:29.316767
• Title: Border Ranks of Positive and Invariant Tensor Decompositions: Applications to Correlations
• Title（参考訳）: 正および不変なテンソル分解の境界ランク:相関への応用
• Authors: Andreas Klingler, Tim Netzer, Gemma De les Coves
• Abstract要約: マルチパートの正および不変なテンソル分解がランクと境界ランクのギャップを示すことを証明した。 また、ある多部確率分布の集合における正の分解とメンバシップの対応性も証明する。 全体として、この研究は階級の不安定性と二部類系のユニークな振る舞いに光を当てている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The matrix rank and its positive versions are robust for small approximations, i.e. they do not decrease under small perturbations. In contrast, the multipartite tensor rank can collapse for arbitrarily small errors, i.e. there may be a gap between rank and border rank, leading to instabilities in the optimization over sets with fixed tensor rank. Can multipartite positive ranks also collapse for small perturbations? In this work, we prove that multipartite positive and invariant tensor decompositions exhibit gaps between rank and border rank, including tensor rank purifications and cyclic separable decompositions. We also prove a correspondence between positive decompositions and membership in certain sets of multipartite probability distributions, and leverage the gaps between rank and border rank to prove that these correlation sets are not closed. It follows that testing membership of probability distributions arising from resources like translational invariant Matrix Product States is impossible in finite time. Overall, this work sheds light on the instability of ranks and the unique behavior of bipartite systems.
• Abstract（参考訳）: 行列のランクとその正のバージョンは小さな近似に対して頑健であり、小さな摂動の下では減少しない。 対照的に、多部テンソルランクは任意の小さな誤差、すなわちランクと境界ランクの間にギャップがあり、固定テンソルランクを持つ集合に対する最適化の不安定性をもたらす可能性がある。 多成分の正のランクは小さな摂動でも崩壊できるのか? 本研究では,多項正および不変なテンソル分解が,テンソル次数精製や巡回分離分解を含むランクと境界ランクのギャップを示すことを示す。 また,多元確率分布のある種の集合における正の分解とメンバシップの対応を証明し,これらの相関集合が閉でないことを示すためにランクと境界ランクのギャップを利用する。 これは、翻訳不変行列積状態のような資源から生じる確率分布のテスト会員は有限時間で不可能である。 全体として、この研究は階級の不安定性と二部類系のユニークな振る舞いに光を当てている。

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