論文の概要: Orthogonal polynomial approximation and Extended Dynamic Mode Decomposition in chaos

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.08074v5
• Date: Thu, 17 Oct 2024 04:52:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-18 13:15:50.895708
• Title: Orthogonal polynomial approximation and Extended Dynamic Mode Decomposition in chaos
• Title（参考訳）: カオスにおける直交多項式近似と拡張動的モード分解
• Authors: Caroline L. Wormell,
• Abstract要約: 拡張動的モード分解(EDMD)は、ダイナミックスの予測とモデル縮小のためのデータ駆動型ツールである。 特に、EDMDがカオスシステムが作用する微分可能な関数のクラスをどのように扱うかは明らかになっていない。 我々は、カオス写像の最も単純な例に基づいて、EDMDの汎用的で厳密な理論を初めて開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) is a data-driven tool for forecasting and model reduction of dynamics, which has been extensively taken up in the physical sciences. While the method is conceptually simple, in deterministic chaos it is unclear what its properties are or even what it converges to. In particular, it is not clear how EDMD's least-squares approximation treats the classes of differentiable functions on which chaotic systems act. We develop for the first time a general, rigorous theory of EDMD on the simplest examples of chaotic maps: analytic expanding maps of the circle. To do this, we prove a new, basic approximation result in the theory of orthogonal polynomials on the unit circle (OPUC) and apply methods from transfer operator theory. We show that in the infinite-data limit, the least-squares projection error is exponentially small for trigonometric polynomial observable dictionaries. As a result, we show that forecasts and Koopman spectral data produced using EDMD in this setting converge to the physically meaningful limits, exponentially fast with respect to the size of the dictionary. This demonstrates that with only a relatively small polynomial dictionary, EDMD can be very effective, even when the sampling measure is not uniform. Furthermore, our OPUC result suggests that data-based least-squares projection may be a very effective approximation strategy more generally.
• Abstract（参考訳）: 拡張動的モード分解(EDMD)は、物理科学において広く取り上げられてきたダイナミックスの予測とモデル縮小のためのデータ駆動ツールである。 この方法は概念的には単純であるが、決定論的カオスにおいては、その性質が何であるか、あるいは何に収束するかは定かではない。 特に、EDMDの最小二乗近似がカオスシステムが作用する微分可能な関数のクラスをどのように扱うかは明らかになっていない。 EDMDの一般的な厳密な理論は、カオス写像の最も単純な例、つまり円の拡大写像を解析する上で初めて発展する。 これを実現するために、単位円(OPUC)上の直交多項式の理論における新しい基本近似結果を証明し、転送作用素理論から方法を適用する。 無限データ極限において、三角多項式可観測辞書に対して最小二乗射影誤差が指数関数的に小さいことを示す。 その結果,EDMDを用いて作成した予測データとクープマンスペクトルデータは,辞書のサイズに対して指数関数的に高速に,物理的に有意な限界に収束することがわかった。 これは、比較的小さな多項式辞書だけでは、サンプリング測度が均一でない場合でも、EDMDは非常に効果的であることを示す。 さらに, OPUCの結果から, データに基づく最小二乗予測は, より一般的な近似手法である可能性が示唆された。

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