論文の概要: Convergence analysis of equilibrium methods for inverse problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.01421v2
• Date: Mon, 22 Sep 2025 05:32:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-23 18:58:15.550393
• Title: Convergence analysis of equilibrium methods for inverse problems
• Title（参考訳）: 逆問題に対する平衡法の収束解析
• Authors: Daniel Obmann, Gyeongha Hwang, Markus Haltmeier,
• Abstract要約: ここでは、ある正規化作用素 (R) に対して (A*(A x - ydelta) + α R(x) = 0) の解として近似解が定義される。 正規化作用素が函数の勾配であるとき、INVは古典的変分正規化に還元される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.812291464467386
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Solving inverse problems \(Ax = y\) is central to a variety of practically important fields such as medical imaging, remote sensing, and non-destructive testing. The most successful and theoretically best-understood method is convex variational regularization, where approximate but stable solutions are defined as minimizers of \( \|A(\cdot) - y^\delta\|^2 / 2 + \alpha \mathcal{R}(\cdot)\), with \(\mathcal{R}\) a regularization functional. Recent methods such as deep equilibrium models and plug-and-play approaches, however, go beyond variational regularization. Motivated by these innovations, we introduce implicit non-variational (INV) regularization, where approximate solutions are defined as solutions of \(A^*(A x - y^\delta) + \alpha R(x) = 0\) for some regularization operator \(R\). When the regularization operator is the gradient of a functional, INV reduces to classical variational regularization. However, in methods like DEQ and PnP, \(R\) is not a gradient field, and the existing theoretical foundation remains incomplete. To address this, we establish stability and convergence results in this broader setting, including convergence rates and stability estimates measured via a absolute Bregman distance.
• Abstract（参考訳）: 逆問題 \(Ax = y\) を解くことは、医療画像、リモートセンシング、非破壊検査など、様々な重要な分野の中心である。 最も成功し、理論的に最もよく理解された方法は凸変動正則化であり、近似的だが安定な解は \( \|A(\cdot) - y^\delta\|^2 / 2 + \alpha \mathcal{R}(\cdot)\) の最小値として定義され、 \(\mathcal{R}\) は正規化函数である。 しかし、深い平衡モデルやプラグアンドプレイアプローチのような最近の手法は、変分正規化を越えている。 これらの革新により、暗黙の非偏差正規化(INV)を導入し、ある正規化作用素 \(R\) に対して近似解は \(A^*(A x - y^\delta) + \alpha R(x) = 0\) の解として定義される。 正規化作用素が函数の勾配であるとき、INVは古典的変分正規化に還元される。 しかし、DEC や PnP のような方法では、 \(R\) は勾配場ではなく、既存の理論的基礎は不完全である。 これを解決するために、絶対ブラグマン距離を用いて測定された収束率と安定性推定を含む、より広い設定で安定性と収束結果を確立する。

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