論文の概要: Revisiting Tropical Polynomial Division: Theory, Algorithms and Application to Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.15157v1
• Date: Tue, 27 Jun 2023 02:26:07 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-28 15:01:04.375550
• Title: Revisiting Tropical Polynomial Division: Theory, Algorithms and Application to Neural Networks
• Title（参考訳）: 熱帯多項式分割の再検討:理論,アルゴリズム,ニューラルネットワークへの応用
• Authors: Ioannis Kordonis, Petros Maragos
• Abstract要約: 熱帯幾何学は、最近、一方向線形活性化関数を持つニューラルネットワークの解析にいくつかの応用を見出した。 本稿では,熱帯分断問題に対する新たな考察とニューラルネットワークの単純化への応用について述べる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 40.137069931650444
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Tropical geometry has recently found several applications in the analysis of neural networks with piecewise linear activation functions. This paper presents a new look at the problem of tropical polynomial division and its application to the simplification of neural networks. We analyze tropical polynomials with real coefficients, extending earlier ideas and methods developed for polynomials with integer coefficients. We first prove the existence of a unique quotient-remainder pair and characterize the quotient in terms of the convex bi-conjugate of a related function. Interestingly, the quotient of tropical polynomials with integer coefficients does not necessarily have integer coefficients. Furthermore, we develop a relationship of tropical polynomial division with the computation of the convex hull of unions of convex polyhedra and use it to derive an exact algorithm for tropical polynomial division. An approximate algorithm is also presented, based on an alternation between data partition and linear programming. We also develop special techniques to divide composite polynomials, described as sums or maxima of simpler ones. Finally, we present some numerical results to illustrate the efficiency of the algorithms proposed, using the MNIST handwritten digit and CIFAR-10 datasets.
• Abstract（参考訳）: 熱帯幾何学は最近、線形活性化関数を持つニューラルネットワークの解析にいくつかの応用を見出した。 本稿では,熱帯多項式分割の問題と,ニューラルネットワークの単純化への応用について考察する。 実係数のトロピカル多項式を解析し,整数係数の多項式に対する初期のアイデアと手法を拡張した。 まず、一意な商-保存対の存在を証明し、その商を関連する函数の凸双共役の項で特徴づける。 興味深いことに、整数係数を持つ熱帯多項式の商は必ずしも整数係数を持たない。 さらに,熱帯多項式分割と凸多面体結合の凸包の計算との関係を解明し,それを用いて熱帯多項式分割の厳密なアルゴリズムを導出する。 データ分割と線形計画の交替に基づいて近似アルゴリズムも提示される。 また,単純な多項式の和や最大値として記述する合成多項式を分割する特別な手法も開発する。 最後に、MNIST手書き桁とCIFAR-10データセットを用いて、提案アルゴリズムの効率性を示す数値的な結果を示す。

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