論文の概要: The curse of dimensionality in operator learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.15924v2
• Date: Tue, 27 Feb 2024 13:20:54 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-02-28 22:48:59.424900
• Title: The curse of dimensionality in operator learning
• Title（参考訳）: オペレーター学習における次元の呪い
• Authors: Samuel Lanthaler and Andrew M. Stuart
• Abstract要約: 本稿では、Cr$-あるいはLipschitz-regularityのみによって特徴づけられる作用素の一般クラスに対して、作用素学習が次元性の呪いに苦しむことを証明する。 この論文の第二の貢献は、ハミルトン・ヤコビ方程式によって定義される解作用素に対して、次元性の一般的な呪いが克服可能であることを証明することである。 HJ-Netと呼ばれる新しいニューラル演算子アーキテクチャが導入され、基礎となるハミルトン系の特性情報を明示的に考慮している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.800286371280922
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Neural operator architectures employ neural networks to approximate operators mapping between Banach spaces of functions; they may be used to accelerate model evaluations via emulation, or to discover models from data. Consequently, the methodology has received increasing attention over recent years, giving rise to the rapidly growing field of operator learning. The first contribution of this paper is to prove that for general classes of operators which are characterized only by their $C^r$- or Lipschitz-regularity, operator learning suffers from a curse of dimensionality, defined precisely here in terms of representations of the infinite-dimensional input and output function spaces. The result is applicable to a wide variety of existing neural operators, including PCA-Net, DeepONet and the FNO. The second contribution of the paper is to prove that the general curse of dimensionality can be overcome for solution operators defined by the Hamilton-Jacobi equation; this is achieved by leveraging additional structure in the underlying solution operator, going beyond regularity. To this end, a novel neural operator architecture is introduced, termed HJ-Net, which explicitly takes into account characteristic information of the underlying Hamiltonian system. Error and complexity estimates are derived for HJ-Net which show that this architecture can provably beat the curse of dimensionality related to the infinite-dimensional input and output function spaces.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークを用いて、関数のバナッハ空間間の演算子マッピングを近似し、エミュレーションによってモデル評価を加速したり、データからモデルを発見したりすることができる。 その結果,近年,この手法が注目され,オペレーター学習の分野が急速に拡大している。 この論文の第一の貢献は、C^r$-あるいはリプシッツ正則性のみによって特徴づけられる作用素の一般クラスに対して、無限次元の入力および出力関数空間の表現に関して正確に定義された次元性の呪いに苦しむことである。 その結果は、PCA-Net、DeepONet、FNOなど、さまざまな既存のニューラル演算子に適用できる。 この論文の第二の貢献は、ハミルトン・ヤコビ方程式によって定義される解作用素に対して、次元性の一般的な呪いが克服可能であることを証明することである。 この目的のために、hj-netと呼ばれる新しいニューラルオペレーターアーキテクチャが導入され、基盤となるハミルトン系の特性情報を明示的に考慮した。 hj-net の誤差と複雑性の推定は、このアーキテクチャが無限次元の入出力関数空間に関連する次元の呪いを打ち負かすことができることを示している。

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