論文の概要: Block perturbation of symplectic matrices in Williamson's theorem:
imposed by multiplicities of symplectic eigenvalues
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.01078v1
- Date: Mon, 3 Jul 2023 14:56:19 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-05 12:28:24.378849
- Title: Block perturbation of symplectic matrices in Williamson's theorem:
imposed by multiplicities of symplectic eigenvalues
- Title（参考訳）: ウィリアムソンの定理におけるシンプレクティック行列のブロック摂動:シンプレクティック固有値の多重性によって課される
- Authors: Gajendra Babu and Hemant K. Mishra
- Abstract要約: ウィリアムソンの定理の任意のシンプレクティック行列 $tildeS$ 対角化 $A+H$ は $tildeS=S Q+mathcalO(|H|)$ の形であることを示す。
我々の結果は、たとえ$A$がシンプレクティック固有値を繰り返したとしても成り立つ。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Williamson's theorem states that for any $2n \times 2n$ real positive
definite matrix $A$, there exists a $2n \times 2n$ real symplectic matrix $S$
such that $S^TAS=D \oplus D$, where $D$ is an $n\times n$ diagonal matrix with
positive diagonal entries which are known as the symplectic eigenvalues of $A$.
Let $H$ be any $2n \times 2n$ real symmetric matrix such that the perturbed
matrix $A+H$ is also positive definite. In this paper, we show that any
symplectic matrix $\tilde{S}$ diagonalizing $A+H$ in Williamson's theorem is of
the form $\tilde{S}=S Q+\mathcal{O}(\|H\|)$, where $Q$ is a $2n \times 2n$ real
symplectic as well as orthogonal matrix. Moreover, $Q$ is in
$\textit{symplectic block diagonal}$ form with the block sizes given by twice
the multiplicities of the symplectic eigenvalues of $A$. Consequently, we show
that $\tilde{S}$ and $S$ can be chosen so that
$\|\tilde{S}-S\|=\mathcal{O}(\|H\|)$. Our results hold even if $A$ has repeated
symplectic eigenvalues. This generalizes the stability result of symplectic
matrices for non-repeated symplectic eigenvalues given by Idel, Gaona, and Wolf
[$\textit{Linear Algebra Appl., 525:45-58, 2017}$].
- Abstract（参考訳）: ウィリアムソンの定理は、任意の 2n \times 2n$ 実正定値行列 $a$ に対して、$s^tas=d \oplus d$ となるような 2n \times 2n$ 実シンプレクティック行列 $s$ が存在し、ここで$d$ は$n\times n$ 対角行列であり、これは$a$ のシンプレクティック固有値として知られている。
H$ を任意の 2n \times 2n$ 実対称行列とし、摂動行列 $A+H$ もまた正定値である。
本稿では、ウィリアムソンの定理における任意のシンプレクティック行列 $\tilde{s}$ が $\tilde{s}=s q+\mathcal{o}(\|h\|)$ の形であることを示し、ここで、$q$ は直交行列と同様に 2n \times 2n$ 実シンプレクティックである。
さらに、$q$ は$\textit{symplectic block diagonal}$ で、ブロックサイズは$a$ のシンプレクティック固有値の倍数で与えられる。
したがって、$\tilde{S}$ と $S$ は $\|\tilde{S}-S\|=\mathcal{O}(\|H\|)$ となるように選択できる。
a$ が繰り返しシンプレクティック固有値を持つ場合でも、結果は成り立つ。
これは idel, gaona, wolf [$\textit{linear algebra appl] によって与えられる非簡約シンプレクティック固有値に対するシンプレクティック行列の安定性結果を一般化する。
, 525:45-58, 2017}$].
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