論文の概要: Continuum Limits of Ollivier's Ricci Curvature on data clouds: pointwise consistency and global lower bounds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.02378v2
- Date: Mon, 26 Aug 2024 12:36:51 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-28 01:17:09.274538
- Title: Continuum Limits of Ollivier's Ricci Curvature on data clouds: pointwise consistency and global lower bounds
- Title（参考訳）: データクラウド上のOllivierのリッチ曲率の連続極限:点的整合性と大域的下界
- Authors: Nicolas Garcia Trillos, Melanie Weber,
- Abstract要約: 我々は、X$から構築されたランダムな幾何グラフの曲率と、Ollivierの離散リッチ曲率の連続極限による多様体$M$の曲率の関係について検討する。
グラフ上の熱核の収縮特性に対する大域的離散曲率境界の適用と、データクラウドからの多様体学習への応用について論じる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1126342180866644
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Let $M$ denote a low-dimensional manifold embedded in Euclidean space and let ${X}= \{ x_1, \dots, x_n \}$ be a collection of points uniformly sampled from it. We study the relationship between the curvature of a random geometric graph built from ${X}$ and the curvature of the manifold $M$ via continuum limits of Ollivier's discrete Ricci curvature. We prove pointwise, non-asymptotic consistency results and also show that if $M$ has Ricci curvature bounded from below by a positive constant, then the random geometric graph will inherit this global structural property with high probability. We discuss applications of the global discrete curvature bounds to contraction properties of heat kernels on graphs, as well as implications for manifold learning from data clouds. In particular, we show that our consistency results allow for estimating the intrinsic curvature of a manifold by first estimating concrete extrinsic quantities.
- Abstract（参考訳）: M$ はユークリッド空間に埋め込まれた低次元多様体を表し、${X}= \{ x_1, \dots, x_n \} をそれから一様にサンプリングされた点の集合とする。
我々は、${X}$から構築されたランダムな幾何グラフの曲率と、Ollivier の離散リッチ曲率の連続極限による多様体 $M$ の曲率の関係を研究する。
M$ がリッチ曲率を下から正の定数で有界にすると、ランダムな幾何グラフはこの大域的な構造特性を高い確率で継承することを示す。
グラフ上の熱核の収縮特性に対する大域的離散曲率境界の適用と、データクラウドからの多様体学習への応用について論じる。
特に, この結果から, まず, コンクリート外在量の推定により, 多様体の内在曲率を推定できることが示唆された。
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