論文の概要: Computable Stability for Persistence Rank Function Machine Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.02904v1
- Date: Thu, 6 Jul 2023 10:34:52 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-07 14:26:43.128692
- Title: Computable Stability for Persistence Rank Function Machine Learning
- Title（参考訳）: パーシステンスランク関数機械学習のための計算安定性
- Authors: Qiquan Wang, In\'es Garc\'ia-Redondo, Pierre Faug\`ere, Anthea Monod,
Gregory Henselman-Petrusek
- Abstract要約: 機能的推論統計学および機械学習におけるランク関数の性能をシミュレーションデータと実データの両方を用いて検討する。
階数関数によって捕捉される永続的ホモロジーの使用は、既存のアプローチよりも明らかな改善をもたらす。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Persistent homology barcodes and diagrams are a cornerstone of topological
data analysis. Widely used in many real data settings, they relate variation in
topological information (as measured by cellular homology) with variation in
data, however, they are challenging to use in statistical settings due to their
complex geometric structure. In this paper, we revisit the persistent homology
rank function -- an invariant measure of ``shape" that was introduced before
barcodes and persistence diagrams and captures the same information in a form
that is more amenable to data and computation. In particular, since they are
functions, techniques from functional data analysis -- a domain of statistics
adapted for functions -- apply directly to persistent homology when represented
by rank functions. Rank functions, however, have been less popular than
barcodes because they face the challenge that stability -- a property that is
crucial to validate their use in data analysis -- is difficult to guarantee,
mainly due to metric concerns on rank function space. However, rank functions
extend more naturally to the increasingly popular and important case of
multiparameter persistent homology. In this paper, we study the performance of
rank functions in functional inferential statistics and machine learning on
both simulated and real data, and in both single and multiparameter persistent
homology. We find that the use of persistent homology captured by rank
functions offers a clear improvement over existing approaches. We then provide
theoretical justification for our numerical experiments and applications to
data by deriving several stability results for single- and multiparameter
persistence rank functions under various metrics with the underlying aim of
computational feasibility and interpretability.
- Abstract（参考訳）: 永続的ホモロジーバーコードとダイアグラムは、トポロジカルデータ分析の基盤である。
多くの実データ設定で広く使われているが、トポロジ情報の変化(細胞ホモロジーによって測定される)とデータの変動を関連付けるが、複雑な幾何学的構造のために統計的設定での使用は困難である。
In this paper, we revisit the persistent homology rank function -- an invariant measure of ``shape" that was introduced before barcodes and persistence diagrams and captures the same information in a form that is more amenable to data and computation. In particular, since they are functions, techniques from functional data analysis -- a domain of statistics adapted for functions -- apply directly to persistent homology when represented by rank functions. Rank functions, however, have been less popular than barcodes because they face the challenge that stability -- a property that is crucial to validate their use in data analysis -- is difficult to guarantee, mainly due to metric concerns on rank function space.
しかし、ランク関数はより自然に、多パラメータ持続ホモロジーの人気の高まりと重要なケースにまで拡張される。
本稿では,シミュレーションデータと実データの両方,および単一および多パラメータ持続ホモロジーにおいて,関数推論統計および機械学習におけるランク関数の性能について検討する。
階数関数によって捕捉される永続的ホモロジーの使用は、既存のアプローチよりも明らかな改善をもたらす。
次に, 計算可能性と解釈可能性という基礎的な目的から, 各種指標を用いた単パラメータ・多パラメータ永続ランク関数の安定性を導出し, 数値実験とデータへの適用を理論的に正当化する。
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