論文の概要: Stability for Inference with Persistent Homology Rank Functions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.02904v2
- Date: Sun, 22 Sep 2024 21:55:19 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-11-09 14:51:04.090430
- Title: Stability for Inference with Persistent Homology Rank Functions
- Title（参考訳）: 恒常的ホモロジーランク関数を用いた推論の安定性
- Authors: Qiquan Wang, Inés García-Redondo, Pierre Faugère, Gregory Henselman-Petrusek, Anthea Monod,
- Abstract要約: 我々は統計学と機械学習のツールとして、永続的ホモロジーランク関数を再考する。
階数関数によって捕捉される永続的ホモロジーの使用は、既存の非永続的アプローチよりも明らかな改善をもたらす。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Persistent homology barcodes and diagrams are a cornerstone of topological data analysis that capture the "shape" of a wide range of complex data structures, such as point clouds, networks, and functions. However, their use in statistical settings is challenging due to their complex geometric structure. In this paper, we revisit the persistent homology rank function, which is mathematically equivalent to a barcode and persistence diagram, as a tool for statistics and machine learning. Rank functions, being functions, enable the direct application of the statistical theory of functional data analysis (FDA)-a domain of statistics adapted for data in the form of functions. A key challenge they present over barcodes in practice, however, is their lack of stability-a property that is crucial to validate their use as a faithful representation of the data and therefore a viable summary statistic. In this paper, we fill this gap by deriving two stability results for persistent homology rank functions under a suitable metric for FDA integration. We then study the performance of rank functions in functional inferential statistics and machine learning on real data applications, in both single and multiparameter persistent homology. We find that the use of persistent homology captured by rank functions offers a clear improvement over existing non-persistence-based approaches.
- Abstract（参考訳）: 永続ホモロジーバーコードとダイアグラムは、点雲、ネットワーク、関数など、幅広い複雑なデータ構造の「形」を捉えたトポロジ的データ解析の基盤である。
しかし、その複雑な幾何学的構造のため、統計的な設定での使用は困難である。
本稿では,統計と機械学習のツールとして,バーコードと永続化図に数学的に等価な永続的ホモロジーランク関数を再検討する。
ランク関数は、関数であり、関数の形でデータに適合する統計の領域である、機能データ分析(FDA)の統計理論の直接的な適用を可能にする。
しかし、実際にバーコードに対して提示される重要な課題は、安定性の欠如である。データの忠実な表現としての使用を検証する上で重要な特性であり、したがって実行可能な要約統計量である。
本稿では,FDA 統合のための適切な基準の下で,永続的ホモロジーランク関数に対する2つの安定性結果を導出することにより,このギャップを埋める。
次に、機能的推論統計学および機械学習におけるランク関数の性能を、単パラメータおよび多パラメータの永続的ホモロジーの両方において、実データアプリケーション上で研究する。
階数関数によって捕捉される永続的ホモロジーの使用は、既存の非永続的アプローチよりも明らかな改善をもたらす。
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