論文の概要: Towards a resolution of the spin alignment problem
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.06894v1
- Date: Thu, 13 Jul 2023 16:47:55 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-14 14:01:19.435065
- Title: Towards a resolution of the spin alignment problem
- Title（参考訳）: スピンアライメント問題の解決に向けて
- Authors: Mohammad A. Alhejji and Emanuel Knill
- Abstract要約: 我々は最近Ref.citeLeditzky2022aで導入されたスピンアライメント予想から着想を得た最適化問題のクラスを研究する。
この研究の動機は、最近Ref.citeLeditzky2022aで導入されたスピンアライメント予想である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.04585143845864
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Consider minimizing the entropy of a mixture of states by choosing each state
subject to constraints. If the spectrum of each state is fixed, we expect that
in order to reduce the entropy of the mixture, we should make the states less
distinguishable in some sense. Here, we study a class of optimization problems
that are inspired by this situation and shed light on the relevant notions of
distinguishability. The motivation for our study is the spin alignment
conjecture introduced recently in Ref.~\cite{Leditzky2022a}. In the original
version of the underlying problem, each state in the mixture is constrained to
be a freely chosen state on a subset of \(n\) qubits tensored with a fixed
state \(Q\) on each of the qubits in the complement. According to the
conjecture, the entropy of the mixture is minimized by choosing the freely
chosen state in each term to be a tensor product of projectors onto a fixed
maximal eigenvector of \(Q\), which maximally ``aligns'' the terms in the
mixture. We generalize this problem in several ways. First, instead of
minimizing entropy, we consider maximizing arbitrary unitarily invariant convex
functions such as Fan norms and Schatten norms. To formalize and generalize the
conjectured required alignment, we define \textit{alignment} as a preorder on
tuples of self-adjoint operators that is induced by majorization. We prove the
generalized conjecture for Schatten norms of integer order, for the case where
the freely chosen states are constrained to be classical, and for the case
where only two states contribute to the mixture and \(Q\) is proportional to a
projector. The last case fits into a more general situation where we give
explicit conditions for maximal alignment. The spin alignment problem has a
natural ``dual" formulation, versions of which have further generalizations
that we introduce.
- Abstract（参考訳）: 制約を受ける各状態を選択することで、混合状態のエントロピーを最小化する。
それぞれの状態のスペクトルが固定されている場合、混合物のエントロピーを減少させるためには、何らかの意味で状態の区別を小さくすべきである。
本稿では,この状況にインスパイアされた最適化問題のクラスを考察し,識別可能性という関連する概念に光を当てる。
この研究の動機は、refで最近紹介されたスピンアライメント予想である。
通称「Leditzky2022a」。
根本問題の原版では、混合状態の各状態は、補集合の各キュービット上の固定状態 \(Q\) でテンソルされた \(n\) キュービットの部分集合上で自由選択状態となるように制約されている。
この予想によれば、混合のエントロピーは、各項の自由に選択された状態を選択して、その混合項の項を最大に `aligns'' とする固定された極大固有ベクトル上のプロジェクターのテンソル積とすることにより最小化される。
私たちはこの問題をいくつかの方法で一般化する。
まず、エントロピーを最小化する代わりに、ファンノルムやシャッテンノルムのような任意の単位不変凸函数の最大化を考える。
予想された要求アライメントを形式化し、一般化するために、大域化によって誘導される自己随伴作用素のタプルのプレオーダーとして \textit{alignment} を定義する。
整数順序のシャッテンノルムに対する一般化された予想を証明し、自由選択された状態が古典的であることに制約された場合と、2つの状態だけが混合に寄与し、 \(Q\) が射影子に比例する場合には証明する。
最後のケースは、最大アライメントの明示的な条件を与えるより一般的な状況に適合する。
スピンアライメント問題には自然の `dual" の定式化があり、そのバージョンには我々が導入するさらなる一般化がある。
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