論文の概要: An Incremental Span-Program-Based Algorithm and the Fine Print of
Quantum Topological Data Analysis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.07073v1
- Date: Thu, 13 Jul 2023 21:46:45 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-17 15:19:09.556524
- Title: An Incremental Span-Program-Based Algorithm and the Fine Print of
Quantum Topological Data Analysis
- Title（参考訳）: インクリメンタルスパンプログラムに基づくアルゴリズムと量子トポロジカルデータ解析のファインプリント
- Authors: Mitchell Black and William Maxwell and Amir Nayyeri
- Abstract要約: 単純複素数のベッチ数を計算するための新しい量子アルゴリズムを提案する。
我々のアルゴリズムは、複素数が最大数の単純数に近い場合に最もよく機能する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2246649738388387
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We introduce a new quantum algorithm for computing the Betti numbers of a
simplicial complex. In contrast to previous quantum algorithms that work by
estimating the eigenvalues of the combinatorial Laplacian, our algorithm is an
instance of the generic Incremental Algorithm for computing Betti numbers that
incrementally adds simplices to the simplicial complex and tests whether or not
they create a cycle. In contrast to existing quantum algorithms for computing
Betti numbers that work best when the complex has close to the maximal number
of simplices, our algorithm works best for sparse complexes. To test whether a
simplex creates a cycle, we introduce a quantum span-program algorithm. We show
that the query complexity of our span program is parameterized by quantities
called the effective resistance and effective capacitance of the boundary of
the simplex. Unfortunately, we also prove upper and lower bounds on the
effective resistance and capacitance, showing both quantities can be
exponentially large with respect to the size of the complex, implying that our
algorithm would have to run for exponential time to exactly compute Betti
numbers. However, as a corollary to these bounds, we show that the spectral gap
of the combinatorial Laplacian can be exponentially small. As the runtime of
all previous quantum algorithms for computing Betti numbers are parameterized
by the inverse of the spectral gap, our bounds show that all quantum algorithms
for computing Betti numbers must run for exponentially long to exactly compute
Betti numbers. Finally, we prove some novel formulas for effective resistance
and effective capacitance to give intuition for these quantities.
- Abstract（参考訳）: 単純複素数のベッチ数を計算するための新しい量子アルゴリズムを提案する。
組合せラプラシアンの固有値を推定して動作する従来の量子アルゴリズムとは対照的に、我々のアルゴリズムは、単純複素数に漸進的に単純化を加えてサイクルを生成するベッチ数に対する一般的なインクリメンタルアルゴリズムの例である。
ベッチ数を計算する既存の量子アルゴリズムとは対照的に、コンプレックスが単純数の最大値に近い場合、このアルゴリズムはスパースコンプレックスに対して最適に働く。
シンプレックスがサイクルを生成するかどうかをテストするため、量子スパンプログラムアルゴリズムを導入する。
その結果,spanプログラムのクエリの複雑さは, simplex の境界の有効抵抗と有効容量と呼ばれる量によってパラメータ化されることがわかった。
残念なことに、有効抵抗と容量の上限は上限と下限であり、どちらの量も複素数の大きさに対して指数関数的に大きいことが示され、我々のアルゴリズムはベッティ数を正確に計算するために指数関数的に時間を要することを意味する。
しかし、これらの境界の系として、組合せラプラシアンのスペクトルギャップが指数関数的に小さくなることを示す。
ベッチ数を計算するための全ての以前の量子アルゴリズムのランタイムはスペクトルギャップの逆によってパラメータ化されるので、我々の境界はベッチ数を計算するすべての量子アルゴリズムは、ベッチ数を正確に計算するために指数関数的に長く走らなければならないことを示している。
最後に,これらの量に対して直観を与えるための有効抵抗と有効容量のための新しい式をいくつか証明する。
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