論文の概要: Riemannian Langevin Monte Carlo schemes for sampling PSD matrices with fixed rank

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.04072v1
• Date: Fri, 8 Sep 2023 02:09:40 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-09-11 16:25:55.255944
• Title: Riemannian Langevin Monte Carlo schemes for sampling PSD matrices with fixed rank
• Title（参考訳）: 固定階数PSD行列のサンプリングのためのリーマン・ランゲヴィン・モンテカルロスキーム
• Authors: Tianmin Yu and Shixin Zheng and Jianfeng Lu and Govind Menon and Xiangxiong Zhang
• Abstract要約: 我々は、$mathcal Sn,p_+$ 上のギブス分布から行列をサンプリングする2つの明示的なスキームを示す。 また、これらのスキームの数値検証を可能にする明示的なギブス分布を持つエネルギー関数の例を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.0397419406319095
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper introduces two explicit schemes to sample matrices from Gibbs distributions on $\mathcal S^{n,p}_+$, the manifold of real positive semi-definite (PSD) matrices of size $n\times n$ and rank $p$. Given an energy function $\mathcal E:\mathcal S^{n,p}_+\to \mathbb{R}$ and certain Riemannian metrics $g$ on $\mathcal S^{n,p}_+$, these schemes rely on an Euler-Maruyama discretization of the Riemannian Langevin equation (RLE) with Brownian motion on the manifold. We present numerical schemes for RLE under two fundamental metrics on $\mathcal S^{n,p}_+$: (a) the metric obtained from the embedding of $\mathcal S^{n,p}_+ \subset \mathbb{R}^{n\times n} $; and (b) the Bures-Wasserstein metric corresponding to quotient geometry. We also provide examples of energy functions with explicit Gibbs distributions that allow numerical validation of these schemes.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、$\mathcal S^{n,p}_+$, Real positive semi-definite (PSD) matrices of size $n\times n$ and rank $p$というギブス分布から行列をサンプリングする2つの明示的なスキームを紹介する。 エネルギー関数 $\mathcal E:\mathcal S^{n,p}_+\to \mathbb{R}$ とある種のリーマン計量 $g$ on $\mathcal S^{n,p}_+$ が与えられたとき、これらのスキームは多様体上のブラウン運動を持つリーマンランゲヴィン方程式(RLE)のオイラー・マルウ山離散化に依存する。 RLE の数値スキームを $\mathcal S^{n,p}_+$ の2つの基本的な尺度で示す。 (a)$\mathcal S^{n,p}_+ \subset \mathbb{R}^{n\times n} $ の埋め込みから得られる計量 (b)商幾何学に対応するbures-wasserstein計量。 また,これらのスキームの数値検証を可能にする明示的なギブス分布を持つエネルギー関数の例を示す。

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