論文の概要: Riemannian Geometry with differentiable ambient space and metric
operator
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2105.01583v1
- Date: Tue, 4 May 2021 15:47:45 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-05-05 12:43:03.197170
- Title: Riemannian Geometry with differentiable ambient space and metric
operator
- Title（参考訳）: 微分可能な周囲空間と計量作用素を持つリーマン幾何学
- Authors: Du Nguyen
- Abstract要約: 我々は、二重接束 $mathcalTmathcalTmathcalM$ と水平バンドル $mathcalHmathcalM$ の接束のための埋め込みおよび潜水周囲構造を提供する。
ヤコビ場を水平に持ち上げる式と、自然帰納的均質空間のヤコビ体に対する新しい閉形式式を得る。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We show Riemannian geometry could be studied by identifying the tangent
bundle of a Riemannian manifold $\mathcal{M}$ with a subbundle of the trivial
bundle $\mathcal{M} \times \mathcal{E}$, obtained by embedding $\mathcal{M}$
differentiably in a Euclidean space $\mathcal{E}$. Given such an embedding, we
can extend the metric tensor on $\mathcal{M}$ to a (positive-definite)
operator-valued function acting on $\mathcal{E}$, giving us an embedded ambient
structure. The formulas for the Christoffel symbols and Riemannian curvature in
local coordinates have simple generalizations to this setup. For a Riemannian
submersion $\mathfrak{q}:\mathcal{M}\to \mathcal{B}$ from an embedded manifold
$\mathcal{M}\subset \mathcal{E}$, we define a submersed ambient structure and
obtain similar formulas, with the O'Neil tensor expressed in terms of the
projection to the horizontal bundle $\mathcal{H}\mathcal{M}$. Using this
framework, we provide the embedded and submersed ambient structures for the
double tangent bundle $\mathcal{T}\mathcal{T}\mathcal{M}$ and the tangent of
the horizontal bundle $\mathcal{T}\mathcal{H}\mathcal{M}$, describe the
fibration of a horizontal bundle over the tangent bundle of the base manifold
and extend the notion of a canonical flip to the submersion case. We obtain a
formula for horizontal lifts of Jacobi fields, and a new closed-form formula
for Jacobi fields of naturally reductive homogeneous spaces. We construct
natural metrics on these double tangent bundles, in particular, extending
Sasaki and other natural metrics to the submersion case. We illustrate by
providing explicit calculations for several manifolds.
- Abstract（参考訳）: リーマン幾何学はリーマン多様体の接バンドル $\mathcal{M}$ を自明なバンドル $\mathcal{M} \times \mathcal{E}$ の部分バンドルと同一視することにより研究できることを示し、ユークリッド空間 $\mathcal{E}$ に微分的に $\mathcal{M}$ を埋め込むことで得られる。
そのような埋め込みを考えると、$\mathcal{m}$ の計量テンソルを$\mathcal{e}$ に作用する(正定値)作用素値関数に拡張でき、埋め込みのアンビエント構造を与えることができる。
局所座標におけるクリストッフェル記号とリーマン曲率の公式は、この設定に単純な一般化をもたらす。
リーマンの沈み込み $\mathfrak{q}:\mathcal{m}\to \mathcal{b}$ に対して、埋め込み多様体 $\mathcal{m}\subset \mathcal{e}$ からすると、沈み込みしたアンビエント構造を定義し、水平バンドル $\mathcal{h}\mathcal{m}$ への射影として表されるオニールテンソルとともに同様の公式を得る。
このフレームワークを用いて、二重接束 $\mathcal{T}\mathcal{T}\mathcal{M}$ と水平バンドル $\mathcal{T}\mathcal{H}\mathcal{M}$ の接点に対して、埋め込みおよび水中の環境構造を提供し、基底多様体の接束上の水平バンドルのファイバーを記述するとともに、正準フリップの概念を沈み込みケースに拡張する。
我々は、ヤコビ場の水平昇降の公式と、自然簡約同次空間のヤコビ場の新しい閉形式式を得る。
これらの二重接束上の自然測度、特に佐々木およびその他の自然測度を沈み込みの場合へ拡張する。
いくつかの多様体に対して明示的な計算を提供することで説明する。
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