論文の概要: Efficient Quantum Algorithm for All Quantum Wavelet Transforms
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.09350v2
- Date: Mon, 22 Apr 2024 15:48:58 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-24 00:42:43.521006
- Title: Efficient Quantum Algorithm for All Quantum Wavelet Transforms
- Title（参考訳）: 全量子ウェーブレット変換のための効率的な量子アルゴリズム
- Authors: Mohsen Bagherimehrab, Alan Aspuru-Guzik,
- Abstract要約: 我々は,量子コンピュータ上で任意のウェーブレット変換を実行するための,単純かつ効率的な量子アルゴリズムを開発した。
提案した量子ウェーブレット変換は、確立された量子フーリエ変換と同様の方法で量子計算アルゴリズムで利用することができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.08968838300743379
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Wavelet transforms are widely used in various fields of science and engineering as a mathematical tool with features that reveal information ignored by the Fourier transform. Unlike the Fourier transform, which is unique, a wavelet transform is specified by a sequence of numbers associated with the type of wavelet used and an order parameter specifying the length of the sequence. While the quantum Fourier transform, a quantum analog of the classical Fourier transform, has been pivotal in quantum computing, prior works on quantum wavelet transforms~(QWTs) were limited to the second and fourth order of a particular wavelet, the Daubechies wavelet. Here we develop a simple yet efficient quantum algorithm for executing any wavelet transform on a quantum computer. Our approach is to decompose the kernel matrix of a wavelet transform as a linear combination of unitaries (LCU) that are compilable by easy-to-implement modular quantum arithmetic operations and use the LCU technique to construct a probabilistic procedure to implement a QWT with a \textit{known} success probability. We then use properties of wavelets to make this approach deterministic by a few executions of the amplitude amplification strategy. We extend our approach to a multilevel wavelet transform and a generalized version, the packet wavelet transform, establishing computational complexities in terms of three parameters: the wavelet order $M$, the dimension $N$ of the transformation matrix, and the transformation level $d$. We show the cost is logarithmic in $N$, linear in $d$ and superlinear in $M$. Moreover, we show the cost is independent of $M$ for practical applications. Our proposed quantum wavelet transforms could be used in quantum computing algorithms in a similar manner to their well-established counterpart, the quantum Fourier transform.
- Abstract（参考訳）: ウェーブレット変換は科学や工学の様々な分野において、フーリエ変換によって無視される情報を明らかにする特徴を持つ数学的ツールとして広く使われている。
独自のフーリエ変換とは異なり、ウェーブレット変換は、使用するウェーブレットの種類と関連する数列と、シーケンスの長さを指定する順序パラメータによって指定される。
古典フーリエ変換の量子アナログである量子フーリエ変換は量子コンピューティングにおいて中心的な役割を担っているが、量子ウェーブレット変換~(QWT)に関する以前の研究は特定のウェーブレットの2階と4階に限られていた。
ここでは、量子コンピュータ上で任意のウェーブレット変換を実行するための、単純で効率的な量子アルゴリズムを開発する。
提案手法は,モジュール型量子演算によりコンパイル可能なユニタリ(LCU)の線形結合としてウェーブレット変換のカーネル行列を分解し,LCU手法を用いて確率的手順を構築し,QWTをtextit{known}成功確率で実装する。
次に、この手法を振幅増幅戦略の実行によって決定的にするためにウェーブレットの特性を用いる。
我々は、マルチレベルウェーブレット変換と一般化されたパケットウェーブレット変換にアプローチを拡張し、ウェーブレット次数$M$、変換行列の次元$N$、変換レベル$d$の3つのパラメータで計算複雑性を確立する。
コストは$N$で対数、$d$で線形、$M$で超線形であることを示す。
さらに,実用アプリケーションに対する費用は$M$とは無関係であることを示す。
提案した量子ウェーブレット変換は、確立された量子フーリエ変換と同様の方法で量子計算アルゴリズムで利用することができる。
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