論文の概要: Independent projections of diffusions: Gradient flows for variational inference and optimal mean field approximations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.13332v2
• Date: Wed, 09 Oct 2024 15:12:02 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-10 14:26:56.882265
• Title: Independent projections of diffusions: Gradient flows for variational inference and optimal mean field approximations
• Title（参考訳）: 拡散の独立射影:変分推論のための勾配流と最適平均場近似
• Authors: Daniel Lacker,
• Abstract要約: 本稿では,2つの自然条件に対して最適である,独立射影(emphindependent projection)という構成を提案する。 まず、元の拡散が不変測度$rho_*$で可逆であるとき、独立射影は積測度空間に制約された相対エントロピー$H(cdot,|,rho_*)$に対するワッサーシュタイン勾配フローとして機能する。 第2に、独立な座標を持つ全てのプロセスの中で、独立射影は、元の拡散に対する経路空間エントロピーの最も遅い成長速度を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: What is the optimal way to approximate a high-dimensional diffusion process by one in which the coordinates are independent? This paper presents a construction, called the \emph{independent projection}, which is optimal for two natural criteria. First, when the original diffusion is reversible with invariant measure $\rho_*$, the independent projection serves as the Wasserstein gradient flow for the relative entropy $H(\cdot\,|\,\rho_*)$ constrained to the space of product measures. This is related to recent Langevin-based sampling schemes proposed in the statistical literature on mean field variational inference. In addition, we provide both qualitative and quantitative results on the long-time convergence of the independent projection, with quantitative results in the log-concave case derived via a new variant of the logarithmic Sobolev inequality. Second, among all processes with independent coordinates, the independent projection is shown to exhibit the slowest growth rate of path-space entropy relative to the original diffusion. This sheds new light on the classical McKean-Vlasov equation and recent variants proposed for non-exchangeable systems, which can be viewed as special cases of the independent projection.
• Abstract（参考訳）: 座標が独立な高次元拡散過程を近似する最適な方法は何ですか。 本稿では,2つの自然条件に対して最適である「emph{非依存射影」という構成を提案する。 まず、元の拡散が不変測度$\rho_*$で可逆であるとき、独立射影は積測度空間に制約された相対エントロピー$H(\cdot\,|\,\rho_*)$に対するワッサーシュタイン勾配フローとして機能する。 これは、平均場変動推定に関する統計文献で提案されている最近のランゲヴィンに基づくサンプリングスキームに関連している。 さらに、独立射影の長期収束に関する定性的および定量的な結果と、対数的ソボレフ不等式の新しい変種によって導かれる対数凹の場合の定量的結果の両方を提供する。 第二に、独立な座標を持つ全てのプロセスの中で、独立射影は、元の拡散に対する経路空間エントロピーの最も遅い成長速度を示す。 これは、古典的なマッケイン・ブラソフ方程式と、非交換可能系に対して提案された最近の変種に新たな光を当て、これは独立射影の特別な場合と見なすことができる。

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