論文の概要: Construction of $\varepsilon_{d}$-ASIC-POVMs via $2$-to-$1$ PN functions
and the Li bound
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.06418v3
- Date: Thu, 8 Feb 2024 16:37:34 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-02-09 11:24:25.822464
- Title: Construction of $\varepsilon_{d}$-ASIC-POVMs via $2$-to-$1$ PN functions
and the Li bound
- Title（参考訳）: 2$-to-$1$PN関数とLi境界による$\varepsilon_{d}$-ASIC-POVMの構成
- Authors: Meng Cao and Xiantao Deng
- Abstract要約: 完全非線形 (PN) 関数はすべて$varepsilon_q$-ASIC-POVM を構成するのに利用できることを示す。
我々は、$varepsilon_q$-ASIC-POVMに対応するベクトルの集合が双角フレームを形成することを示す。
varepsilon_q+1$-ASIC-POVMs の構成は、Li 境界と呼ばれる乗法的文字和推定に基づいている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 28.746561122145483
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Symmetric informationally complete positive operator-valued measures
(SIC-POVMs) in finite dimension $d$ are a particularly attractive case of
informationally complete POVMs (IC-POVMs), which consist of $d^{2}$
subnormalized projectors with equal pairwise fidelity. However, it is difficult
to construct SIC-POVMs, and it is not even clear whether there exists an
infinite family of SIC-POVMs. To realize some possible applications in quantum
information processing, Klappenecker et al. [37] introduced an approximate
version of SIC-POVMs called approximately symmetric informationally complete
POVMs (ASIC-POVMs). In this paper, we construct a class of
$\varepsilon_{d}$-ASIC-POVMs in dimension $d=q$ and a class of
$\varepsilon_{d}$-ASIC-POVMs in dimension $d=q+1$, respectively, where $q$ is a
prime power. We prove that all $2$-to-$1$ perfect nonlinear (PN) functions can
be used for constructing $\varepsilon_{q}$-ASIC-POVMs. We show that the set of
vectors corresponding to the $\varepsilon_{q}$-ASIC-POVM forms a biangular
frame. The construction of $\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVMs is based on a
multiplicative character sum estimate called the Li bound. We show that the set
of vectors corresponding to the $\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVM forms an
asymptotically optimal codebook. We characterize "how close" the
$\varepsilon_{q}$-ASIC-POVMs (resp. $\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVMs) are from
being SIC-POVMs of dimension $q$ (resp. dimension $q+1$). Finally, we explain
the significance of constructing $\varepsilon_{d}$-ASIC-POVMs.
- Abstract（参考訳）: 有限次元$d$の対称情報完備作用素値測度 (SIC-POVMs) は情報完備POVM (IC-POVMs) の特に魅力的な場合である。
しかし、SIC-POVMの構築は困難であり、SIC-POVMの無限族が存在するかどうかさえ明らかではない。
量子情報処理におけるいくつかの応用を実現するために、Klappenecker et al。
[37]は、ほぼ対称な情報完全POVM(ASIC-POVM)と呼ばれるSIC-POVMの近似バージョンを導入した。
本稿では、次元 $d=q$ の $\varepsilon_{d}$-asic-povm と次元 $d=q+1$の $\varepsilon_{d}$-asic-povm のクラスを構築し、ここで $q$ は素数である。
完全非線形(pn)関数はすべて$\varepsilon_{q}$-asic-povmの構築に使用できることを証明します。
我々は、$\varepsilon_{q}$-ASIC-POVMに対応するベクトルの集合が双角フレームを形成することを示す。
$\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVMs の構成は、Li 境界と呼ばれる乗法的文字和推定に基づいている。
我々は、$\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVMに対応するベクトルの集合が漸近的に最適なコードブックを形成することを示す。
我々は$\varepsilon_{q}$-ASIC-POVMs (resp) の "how close" を特徴付ける。
$\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVMs は次元 $q$ (resp. dimension $q+1$) の SIC-POVMs に由来する。
最後に、$\varepsilon_{d}$-ASIC-POVMsを構築することの重要性を説明する。
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