論文の概要: SIC-POVMs and orders of real quadratic fields
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.08048v2
- Date: Fri, 27 Sep 2024 06:14:38 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-11-08 22:29:09.004594
- Title: SIC-POVMs and orders of real quadratic fields
- Title（参考訳）: SIC-POVMと実二次体の位数
- Authors: Gene S. Kopp, Jeffrey C. Lagarias,
- Abstract要約: 我々は、対称的に完備な正の演算子評価尺度(SICまたはSIC-POVM)を数え、分類する問題を考える。
ワイル=ハイゼンベルク共変 SIC の次元 $d$ における既知同値類の数を示す。
等式はすべての$dgeq 4$に拡張されると推測する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We consider the problem of counting and classifying symmetric informationally complete positive operator-valued measures (SICs or SIC-POVMs), that is, sets of $d^2$ equiangular lines in $\mathbb{C}^d$. For $4 \leq d \leq 90$, we show the number of known equivalence classes of Weyl--Heisenberg covariant SICs in dimension $d$ equals the cardinality of the ideal class monoid of (not necessarily invertible) ideal classes in the real quadratic order of discriminant $(d+1)(d-3)$. Equivalently, this is the number of $\mathbf{GL}_2(\mathbb{Z})$ conjugacy classes in $\mathbf{SL}_2(\mathbb{Z})$ of trace $d-1$. We conjecture the equality extends to all $d \geq 4$. We prove that this conjecture implies more that one equivalence class of Weyl--Heisenberg covariant SICs for every $d > 22$. We refine the "class field hypothesis" of Appleby, Flammia, McConnell, and Yard (arXiv:1604.06098) to predict the exact class field generated by the ratios of vector entries for the equiangular lines defining a Weyl--Heisenberg covariant SIC. The class fields conjecturally associated to SICs in dimension $d$ have a natural partial order under inclusion; we show the natural inclusions of these fields in the partial order are strict, except in a small family of cases.
- Abstract（参考訳）: 対称情報量完備な正値測度 (SICs あるいは SIC-POVMs) を数えて分類する問題、すなわち$\mathbb{C}^d$ における$d^2$等角直線の集合を考える。
4 \leq d \leq 90$ に対して、次元 $d$ のワイル=ハイゼンベルク共変 SIC の既知同値類数は、(必ずしも可逆ではない)イデアル類の実二次位数$(d+1)(d-3)$ のイデアル類モノイドの濃度と等しい。
同様に、これは、$\mathbf{GL}_2(\mathbb{Z})$ conjugacy class in $\mathbf{SL}_2(\mathbb{Z})$ of trace $d-1$である。
等式はすべての$d \geq 4$に拡張されると推測する。
我々は、Appleby, Flammia, McConnell, and Yard (arXiv:1604.06098) の「クラス場仮説」を洗練し、ワイル-ハイゼンベルク共変 SIC を定義する等角直線に対するベクトル成分の比によって生成される正確なクラス場を予測する。
次元$d$ の SIC に射影的に関連付けられた類体は、自然部分順序を包含する。
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