論文の概要: TSONN: Time-stepping-oriented neural network for solving partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.16491v1
• Date: Wed, 25 Oct 2023 09:19:40 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-10-26 15:32:55.395537
• Title: TSONN: Time-stepping-oriented neural network for solving partial differential equations
• Title（参考訳）: TSONN:偏微分方程式を解くための時間ステッピング指向ニューラルネットワーク
• Authors: Wenbo Cao, Weiwei Zhang
• Abstract要約: この研究は、PDE問題を解決するために、タイムステッピング法とディープラーニングを統合する。 擬似タイムステッピング過程の軌跡に従うことにより、モデルトレーニングの収束性を大幅に改善する。 提案手法は,標準のPINNでは解けない多くの問題において,安定したトレーニングと正しい結果が得られることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9061608251056779
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Deep neural networks (DNNs), especially physics-informed neural networks (PINNs), have recently become a new popular method for solving forward and inverse problems governed by partial differential equations (PDEs). However, these methods still face challenges in achieving stable training and obtaining correct results in many problems, since minimizing PDE residuals with PDE-based soft constraint make the problem ill-conditioned. Different from all existing methods that directly minimize PDE residuals, this work integrates time-stepping method with deep learning, and transforms the original ill-conditioned optimization problem into a series of well-conditioned sub-problems over given pseudo time intervals. The convergence of model training is significantly improved by following the trajectory of the pseudo time-stepping process, yielding a robust optimization-based PDE solver. Our results show that the proposed method achieves stable training and correct results in many problems that standard PINNs fail to solve, requiring only a simple modification on the loss function. In addition, we demonstrate several novel properties and advantages of time-stepping methods within the framework of neural network-based optimization approach, in comparison to traditional grid-based numerical method. Specifically, explicit scheme allows significantly larger time step, while implicit scheme can be implemented as straightforwardly as explicit scheme.
• Abstract（参考訳）: ディープニューラルネットワーク(DNN)、特に物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、最近偏微分方程式(PDE)によって支配される前方および逆問題の解法として人気がある。 しかしながら、これらの手法は、PDEベースのソフト制約によるPDE残差を最小限に抑えることにより、多くの問題において安定したトレーニングと正しい結果を得るという課題に直面している。 PDE残差を直接最小化する既存の方法とは異なり、この研究は深層学習とタイムステッピング法を統合し、元の不条件最適化問題を与えられた擬似時間間隔上の一連の条件付きサブプロブレムに変換する。 モデル学習の収束性は、擬似タイムステッピング過程の軌跡に従い、ロバストな最適化ベースのPDEソルバによって大幅に改善される。 その結果,本手法は安定なトレーニングを実現し,標準ピンが解決できない問題の多くを正すことができ,損失関数の修正だけでよいことがわかった。 さらに,ニューラルネットワークに基づく最適化手法の枠組みにおいて,従来のグリッド型数値法と比較して,時間決定手法の新たな特性と利点を示す。 具体的には、明示的なスキームははるかに大きな時間ステップを可能にするが、暗黙的なスキームは明示的なスキームのように簡単に実装できる。

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