論文の概要: FEM-based Neural Networks for Solving Incompressible Fluid Flows and Related Inverse Problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.04067v1
- Date: Fri, 6 Sep 2024 07:17:01 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-09-09 16:36:07.806928
- Title: FEM-based Neural Networks for Solving Incompressible Fluid Flows and Related Inverse Problems
- Title（参考訳）: 非圧縮性流体の解法のためのFEMベースニューラルネットワークとその逆問題
- Authors: Franziska Griese, Fabian Hoppe, Alexander Rüttgers, Philipp Knechtges,
- Abstract要約: 偏微分方程式で記述された技術システムの数値シミュレーションと最適化は高価である。
この文脈で比較的新しいアプローチは、ニューラルネットワークの優れた近似特性と古典的有限要素法を組み合わせることである。
本稿では, この手法を, サドルポイント問題と非線形流体力学問題に拡張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 41.94295877935867
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The numerical simulation and optimization of technical systems described by partial differential equations is expensive, especially in multi-query scenarios in which the underlying equations have to be solved for different parameters. A comparatively new approach in this context is to combine the good approximation properties of neural networks (for parameter dependence) with the classical finite element method (for discretization). However, instead of considering the solution mapping of the PDE from the parameter space into the FEM-discretized solution space as a purely data-driven regression problem, so-called physically informed regression problems have proven to be useful. In these, the equation residual is minimized during the training of the neural network, i.e. the neural network "learns" the physics underlying the problem. In this paper, we extend this approach to saddle-point and non-linear fluid dynamics problems, respectively, namely stationary Stokes and stationary Navier-Stokes equations. In particular, we propose a modification of the existing approach: Instead of minimizing the plain vanilla equation residual during training, we minimize the equation residual modified by a preconditioner. By analogy with the linear case, this also improves the condition in the present non-linear case. Our numerical examples demonstrate that this approach significantly reduces the training effort and greatly increases accuracy and generalizability. Finally, we show the application of the resulting parameterized model to a related inverse problem.
- Abstract（参考訳）: 偏微分方程式で記述された技術的システムの数値シミュレーションと最適化は高価であり、特に異なるパラメータに対して基礎となる方程式を解かなければならないマルチクエリシナリオにおいてである。
この文脈で比較的新しいアプローチは、ニューラルネットワークのよい近似特性(パラメータ依存)と古典有限要素法(離散化)を組み合わせることである。
しかし、パラメータ空間からFEMに分解された解空間へのPDEの解写像を純粋にデータ駆動回帰問題として考慮する代わりに、いわゆる物理情報レグレッション問題は有用であることが証明されている。
これらにおいて、方程式残差はニューラルネットワークのトレーニング中に最小化される。
本稿では, 定常ストークスと定常ナヴィエ・ストークス方程式のそれぞれを, サドル点と非線形流体力学の問題に拡張する。
特に,訓練中のバニラ方程式の残差を最小限に抑える代わりに,プレコンディショナーによって修正された方程式の残差を最小限に抑える。
線形の場合と類似して、これは現在の非線形の場合の条件も改善する。
数値的な例では、このアプローチはトレーニングの労力を大幅に削減し、精度と一般化可能性を大幅に向上させる。
最後に,パラメータ化モデルの関連する逆問題への適用について述べる。
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