Fugu-MT 論文翻訳(概要): Quantum and classical query complexities of functions of matrices

論文の概要: Quantum and classical query complexities of functions of matrices

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.06999v1
Date: Mon, 13 Nov 2023 00:45:41 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2023-11-14 15:50:50.332353
Title: Quantum and classical query complexities of functions of matrices
Title（参考訳）: 行列関数の量子的および古典的クエリ複雑性
Authors: Ashley Montanaro and Changpeng Shao
Abstract要約: 任意の連続関数 $f(x):[-1,1]arrow [-1,1]$ に対して、計算の量子クエリ複雑性 $brai f(A) ketjpm varepsilon/4$ は$Omega(widetildedeg_varepsilon(f))$ で下界であることが示される。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: Let $A$ be a sparse Hermitian matrix, $f(x)$ be a univariate function, and $i, j$ be two indices. In this work, we investigate the query complexity of approximating $\bra{i} f(A) \ket{j}$. We show that for any continuous function $f(x):[-1,1]\rightarrow [-1,1]$, the quantum query complexity of computing $\bra{i} f(A) \ket{j}\pm \varepsilon/4$ is lower bounded by $\Omega(\widetilde{\deg}_\varepsilon(f))$. The upper bound is at most quadratic in $\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ and is linear in $\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ under certain mild assumptions on $A$. Here the approximate degree $\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ is the minimum degree such that there is a polynomial of that degree approximating $f$ up to additive error $\varepsilon$ in the interval $[-1,1]$. We also show that the classical query complexity is lower bounded by $\widetilde{\Omega}(2^{\widetilde{\deg}_{2\varepsilon}(f)/6})$. Our results show that the quantum and classical separation is exponential for any continuous function of sparse Hermitian matrices, and also imply the optimality of implementing smooth functions of sparse Hermitian matrices by quantum singular value transformation. The main techniques we used are the dual polynomial method for functions over the reals, linear semi-infinite programming, and tridiagonal matrices.
Abstract（参考訳）: a$ をスパースエルミート行列とし、$f(x)$ を不定値関数とし、$i, j$ を2つの指標とする。本研究では,$\bra{i} f(a) \ket{j}$ を近似するクエリ複雑性について検討する。任意の連続関数 $f(x):[-1,1]\rightarrow [-1,1]$ に対して、計算の量子クエリ複雑性 $\bra{i} f(A) \ket{j}\pm \varepsilon/4$ は $\Omega(\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ で下界であることが示される。上界は、少なくとも$\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$において二次的であり、$A$上のある穏やかな仮定の下で$\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$において線型である。ここで、近似次数 $\widetilde{\deg}_\varepsilon(f)$ は、その次数の多項式が$f$ から$[-1,1]$ の間の加算誤差 $\varepsilon$ に近似する最小次数である。また、古典的なクエリの複雑さは$\widetilde{\Omega}(2^{\widetilde{\deg}_{2\varepsilon}(f)/6})$で制限される。その結果、量子と古典の分離はスパース・エルミート行列の任意の連続函数に対して指数関数であり、また、量子特異値変換によってスパース・エルミート行列の滑らかな函数を実装するための最適性を示す。私たちが使った主なテクニックは、実数上の関数に対する双対多項式法、線形半無限計画法、三角行列である。

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