論文の概要: Better Neural PDE Solvers Through Data-Free Mesh Movers
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.05583v2
- Date: Mon, 19 Feb 2024 14:41:30 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-02-21 04:07:04.960332
- Title: Better Neural PDE Solvers Through Data-Free Mesh Movers
- Title（参考訳）: データフリーメッシュムーバによるより優れたニューラルPDE解法
- Authors: Peiyan Hu, Yue Wang, Zhi-Ming Ma
- Abstract要約: 我々は、移動メッシュを2分岐アーキテクチャに組み込む移動メッシュベースのニューラルPDEソルバ(MM-PDE)を開発した。
提案手法は,広く検討されているPDEシステムにおいて,適切なメッシュを生成し,精度を大幅に向上させる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 13.013830215107735
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Recently, neural networks have been extensively employed to solve partial
differential equations (PDEs) in physical system modeling. While major studies
focus on learning system evolution on predefined static mesh discretizations,
some methods utilize reinforcement learning or supervised learning techniques
to create adaptive and dynamic meshes, due to the dynamic nature of these
systems. However, these approaches face two primary challenges: (1) the need
for expensive optimal mesh data, and (2) the change of the solution space's
degree of freedom and topology during mesh refinement. To address these
challenges, this paper proposes a neural PDE solver with a neural mesh adapter.
To begin with, we introduce a novel data-free neural mesh adaptor, called
Data-free Mesh Mover (DMM), with two main innovations. Firstly, it is an
operator that maps the solution to adaptive meshes and is trained using the
Monge-Amp\`ere equation without optimal mesh data. Secondly, it dynamically
changes the mesh by moving existing nodes rather than adding or deleting nodes
and edges. Theoretical analysis shows that meshes generated by DMM have the
lowest interpolation error bound. Based on DMM, to efficiently and accurately
model dynamic systems, we develop a moving mesh based neural PDE solver
(MM-PDE) that embeds the moving mesh with a two-branch architecture and a
learnable interpolation framework to preserve information within the data.
Empirical experiments demonstrate that our method generates suitable meshes and
considerably enhances accuracy when modeling widely considered PDE systems. The
code can be found at: https://github.com/Peiyannn/MM-PDE.git.
- Abstract（参考訳）: 近年,物理系モデリングにおける偏微分方程式(PDE)の解法としてニューラルネットワークが広く用いられている。
主要な研究は、事前定義された静的メッシュの離散化に関する学習システムの進化に焦点を当てているが、これらのシステムの動的性質のため、強化学習や教師付き学習技術を用いて適応的および動的メッシュを作成する方法もある。
しかし、これらのアプローチは、(1)高価な最適メッシュデータの必要性、(2)メッシュ精錬中の解空間の自由度とトポロジーの変化の2つの主な課題に直面している。
これらの課題に対処するために,ニューラルネットワークアダプタを用いたニューラルPDEソルバを提案する。
まず、DMM(Data-free Mesh Mover)と呼ばれる新しいデータフリーなニューラルネットワークアダプタを紹介します。
まず、最適なメッシュデータを持たないMonge-Amp\`ere方程式を用いて、ソリューションを適応メッシュにマッピングする演算子である。
次に、ノードやエッジの追加や削除ではなく、既存のノードを移動することで、メッシュを動的に変更する。
理論的解析により、DMMによって生成されたメッシュは最小の補間誤差境界を持つことが示された。
DMMに基づいて、動的システムの効率的かつ正確なモデル化を行うため、移動メッシュを2分岐アーキテクチャで埋め込んだ移動メッシュベースのニューラルPDEソルバ(MM-PDE)と、データ内の情報を保存するための学習可能な補間フレームワークを開発する。
実験により,本手法は適切なメッシュを生成し,広く検討されているPDEシステムのモデル化における精度を大幅に向上することを示した。
コードは、https://github.com/Peiyannn/MM-PDE.gitで参照できる。
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