論文の概要: Analytical results for the Quantum Alternating Operator Ansatz with Grover Mixer

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.11056v1
• Date: Fri, 19 Jan 2024 23:17:08 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-01-23 18:20:09.388626
• Title: Analytical results for the Quantum Alternating Operator Ansatz with Grover Mixer
• Title（参考訳）: グローバーミキサーを用いた量子交互作用素 ansatz の解析結果
• Authors: Guilherme Adamatti Bridi, Franklin de Lima Marquezino
• Abstract要約: 本稿では,問題ハミルトニアンスペクトルに付随する確率分布に依存する予測値の解析式として,GM-QAOAを統計的に解析する手法を提案する。 本研究では,Grover Threshold QAOA (GM-Th-QAOA) のより単純な文脈に解析を拡張し,GM-QAOAの位相分離演算子を置換してしきい値関数を符号化する。 我々は,非構造探索問題に対するグロバーのアルゴリズムの最適性と矛盾する議論を用いて,すべての境界を一般化する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: An important property of QAOA with Grover mixer is that its expectation value is invariant over any permutation of states. As a consequence, the algorithm is independent of the structure of the problem. If, on the one hand, this characteristic raises serious doubts about the capacity of the algorithm to overcome the bound of the unstructured search problem, on the other hand, it can pave the way to its analytical study. In this sense, a prior work introduced a statistical approach to analyze GM-QAOA that results in an analytical expression for the expectation value depending on the probability distribution associated with the problem Hamiltonian spectrum. Although the method provides surprising simplifications in calculations, the expression depends exponentially on the number of layers, which makes direct analytical treatment unfeasible. In this work, we extend the analysis to the more simple context of Grover Mixer Threshold QAOA (GM-Th-QAOA), a variant that replaces the phase separation operator of GM-QAOA to encode a threshold function. As a result, we obtain an expression for the expected value independent of the number of layers and, with it, we provide bounds for different performance metrics. Furthermore, we extend the analysis to a more general context of QAOA with Grover mixer, which we called Grover-based QAOA. In that framework, which allows the phase separation operator to encode any compilation of the cost function, we generalize all the bounds by using a contradiction argument with the optimality of Grover's algorithm on the unstructured search problem. The main result is an asymptotic tight bound on the quantile achieved by the expectation value that formalizes the notion that the Grover mixer reflected a quadratic Grover-style speed-up over brute force. We apply that bound on the Max-Cut problem to the particular class of complete bipartite graphs.
• Abstract（参考訳）: グロバー混合器によるQAOAの重要な性質は、その期待値は状態の任意の置換に対して不変であることである。 その結果、アルゴリズムは問題の構造とは無関係である。 一方、この特徴が非構造化探索問題の限界を克服するアルゴリズムの能力に深刻な疑問を提起する一方で、分析研究への道を開くことができる。 この意味で、先行研究は、問題ハミルトニアンスペクトルに関連する確率分布に依存する期待値の解析的表現をもたらすGM-QAOAを分析する統計的アプローチを導入した。 この手法は計算において驚くべき単純化をもたらすが、その表現は層数に指数関数的に依存し、直接分析処理は不可能である。 本研究では,Grover Mixer Threshold QAOA(Grover Mixer Threshold QAOA, GM-Th-QAOA, GM-QAOAの位相分離演算子を置き換えてしきい関数を符号化する変種)のより単純な文脈に解析を拡張する。 その結果、レイヤ数に依存しない期待値の式が得られ、それに伴い、異なるパフォーマンス指標のバウンダリを提供する。 さらに、Grover-based QAOAと呼ぶGrovermixerを用いて、より一般的なQAOAの文脈まで分析を拡張した。 位相分離演算子がコスト関数の任意のコンパイルをエンコードできるようにするこのフレームワークでは、非構造化探索問題に対するグローバーのアルゴリズムの最適性と矛盾する引数を用いて、すべての境界を一般化する。 主な結果は、グロバーミキサーがブリュート力に対して二次グローバースタイルのスピードアップを反映するという考えを定式化した期待値によって達成された分位数の漸近的なタイトバウンドである。 我々は、マックス・カット問題にその境界を完備二部グラフの特定のクラスに適用する。

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