論文の概要: Equivariant Manifold Neural ODEs and Differential Invariants
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.14131v2
- Date: Thu, 10 Oct 2024 14:22:30 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-11 14:27:47.807029
- Title: Equivariant Manifold Neural ODEs and Differential Invariants
- Title（参考訳）: 等変マニフォールドニューラルネットワークと微分不変量
- Authors: Emma Andersdotter, Daniel Persson, Fredrik Ohlsson,
- Abstract要約: 我々は同変多様体ニューラル常微分方程式(NODE)の明らかな幾何学的枠組みを開発する。
私たちは、対称データに対するモデリング能力を解析するためにそれを使用します。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6073704837297416
- License:
- Abstract: In this paper, we develop a manifestly geometric framework for equivariant manifold neural ordinary differential equations (NODEs) and use it to analyse their modelling capabilities for symmetric data. First, we consider the action of a Lie group $G$ on a smooth manifold $M$ and establish the equivalence between equivariance of vector fields, symmetries of the corresponding Cauchy problems, and equivariance of the associated NODEs. We also propose a novel formulation, based on Lie theory for symmetries of differential equations, of the equivariant manifold NODEs in terms of the differential invariants of the action of $G$ on $M$, which provides an efficient parameterisation of the space of equivariant vector fields in a way that is agnostic to both the manifold $M$ and the symmetry group $G$. Second, we construct augmented manifold NODEs, through embeddings into flows on the tangent bundle $TM$, and show that they are universal approximators of diffeomorphisms on any connected $M$. Furthermore, we show that universality persists in the equivariant case and that the augmented equivariant manifold NODEs can be incorporated into the geometric framework using higher-order differential invariants. Finally, we consider the induced action of $G$ on different fields on $M$ and show how it can be used to generalise previous work, on, e.g., continuous normalizing flows, to equivariant models in any geometry.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,同変多様体型ニューラル常微分方程式(NODE)の幾何学的枠組みを開発し,それを対称データに対するモデリング能力の解析に利用する。
まず、滑らかな多様体 $M$ 上のリー群 $G$ の作用を考え、ベクトル場の同値性、対応するコーシー問題の対称性、それに付随する NODE の同値性を確立する。
また、同変多様体 NODE の微分方程式の対称性に関するリー理論に基づく新しい定式化も提案する:$G$ on $M$ の作用の微分不変量により、多様体 $M$ と対称性群 $G$ の両方に非依存な方法で同変ベクトル場の空間の効率的なパラメータ化を提供する。
次に、拡張多様体 NODE を構築し、接束 $TM$ 上のフローに埋め込み、任意の接続された $M$ 上の微分同相の普遍近似であることを示す。
さらに、同変の場合において普遍性が持続し、高階微分不変量を用いて拡張同変多様体NODEを幾何学的枠組みに組み込むことができることを示す。
最後に、$M$ 上の異なる体に対する$G$ の誘導作用を考察し、それを用いて、例えば、連続正規化フロー(continuous normalization flow)といった以前の作業を任意の幾何学における同変モデルに一般化する方法を示す。
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