論文の概要: Position operators in terms of converging finite-dimensional matrices: Exploring their interplay with geometry, transport, and gauge theory

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.02519v1
• Date: Mon, 4 Mar 2024 22:10:05 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-03-06 16:50:45.710465
• Title: Position operators in terms of converging finite-dimensional matrices: Exploring their interplay with geometry, transport, and gauge theory
• Title（参考訳）: 有限次元行列の収束における位置作用素:幾何学、輸送、ゲージ理論との相互作用を探る
• Authors: B. Q. Song, J. D. H. Smith, J. Wang
• Abstract要約: 既存の発散点である$r$-matrixを改善するために、収束$r$-matrixが見つかる。 概念レベルと応用レベルの両方において、その影響について検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.38366697175402226
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Position operator $\hat{r}$ appears as $i{\partial_p}$ in wave mechanics, while its matrix form is well known diverging in diagonals, causing serious difficulties in basis transformation, observable yielding, etc. We aim to find a convergent $r$-matrix (CRM) to improve the existing divergent $r$-matrix (DRM), and investigate its influence at both the conceptual and the application levels. Unlike the spin matrix, which affords a Lie algebra representation as the solution of $[s_i,s_j]={\epsilon}_{i,j,k}s_k$, the $r$-matrix cannot be a solution for $[\hat{r},p]=i\hbar$, namely Weyl algebra. Indeed: matrix representations of Weyl algebras prove not existing; thus, neither CRM nor DRM would afford a representation. Instead, the CRM should be viewed as a procedure of encoding $\hat{r}$ using matrices of arbitrary finite dimensions. Deriving CRM recognizes that the limited understanding about Weyl algebra has led to the divergence. A key modification is increasing the 1-st Weyl algebra (the familiar substitution $\hat{r}{\rightarrow}i{\partial_p}$) to the $N$-th Weyl algebra. Resolving the divergence makes $r$-matrix rigorously defined, and we are able to show $r$-matrix is distinct from a spin matrix in terms of its defining principles, transformation behavior, and the observable it yields. At the conceptual level, the CRM fills the logical gap between the $r$-matrix and the Berry connection; and helps to show that Bloch space $\mathcal{H}_B$ is incomplete for $\hat{r}$. At the application level, we focus on transport, and discover that the Hermitian matrix is not identical with the associative Hermitian operator, i.e., $r_{m,n}=r_{n,m}^*{\nLeftrightarrow}\hat{r}=\hat{r}^{\dagger}$. We also discuss how such a non-representation CRM can contribute to building a unified transport theory.
• Abstract（参考訳）: 位置演算子 $\hat{r}$ は波動力学において $i{\partial_p}$ として現れるが、その行列形式は対角線で発散し、基底変換や可観測降伏などに深刻な困難をもたらす。 我々は、既存の$r$-matrix(DRM)を改善するための収束$r$-matrix(CRM)を見つけ、概念レベルとアプリケーションレベルの両方でその影響を調べることを目指している。 スピン行列は、[s_i,s_j]={\epsilon}_{i,j,k}s_k$の解としてリー代数表現を与えるが、$r$-行列は$[\hat{r},p]=i\hbar$、すなわちワイル代数の解にはならない。 実際、ワイル代数の行列表現は存在せず、CRMもDRMも表現の余地がない。 その代わり、CRMは任意の有限次元の行列を使って$\hat{r}$を符号化する手続きと見なすべきである。 CRMの導出は、ワイル代数に関する限られた理解が分岐につながったことを認識している。 重要な修正は、第1ワイル代数(慣れ親しんだ代入の$\hat{r}{\rightarrow}i{\partial_p}$)を第1ワイル代数に増やすことである。 発散を解決することは、r$-matrixを厳密に定義し、r$-matrixは、その定義原理、変換挙動、そしてそれが得る可観測性の観点から、スピン行列とは異なることを示すことができる。 概念レベルでは、CRMは$r$-matrixとBerry接続の間の論理的ギャップを埋め、Bloch space $\mathcal{H}_B$が$\hat{r}$に対して不完全であることを示すのに役立つ。 応用レベルでは、輸送に焦点を当て、エルミート行列が連想的エルミート作用素、すなわち$r_{m,n}=r_{n,m}^*{\nLeftrightarrow}\hat{r}=\hat{r}^{\dagger}$と同一でないことを発見する。 また、このような非表現CRMが統合輸送理論の構築にどのように貢献するかについても論じる。

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