論文の概要: SIC-POVMs from Stark Units: Dimensions n^2+3=4p, p prime
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.02872v1
- Date: Tue, 5 Mar 2024 11:36:33 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-03-06 15:07:36.272573
- Title: SIC-POVMs from Stark Units: Dimensions n^2+3=4p, p prime
- Title（参考訳）: スターク単位からのSIC-POVM:次元 n^2+3=4p, p 素数
- Authors: Ingemar Bengtsson, Markus Grassl, Gary McConnell
- Abstract要約: 実二次体における線量体拡大からのスターク単位が、SICが構築されるシードとして機能することを示す。
この形式の17の異なる次元に対して解を与え、$d = 39604$に達する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7188280334580197
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The existence problem for maximal sets of equiangular lines (or SICs) in
complex Hilbert space of dimension $d$ remains largely open. In a previous
publication (arXiv:2112.05552) we gave a conjectural algorithm for how to
construct a SIC if $d = n^2+3 = p$, a prime number. Perhaps the most surprising
number-theoretical aspect of that algorithm is the appearance of Stark units in
a key role: a single Stark unit from a ray class field extension of a real
quadratic field serves as a seed from which the SIC is constructed. The
algorithm can be modified to apply to all dimensions $d = n^2+3$. Here we focus
on the case when $d= n^2+3 = 4p$, $p$ prime, for two reasons. First, special
measures have to be taken on the Hilbert space side of the problem when the
dimension is even. Second, the degrees of the relevant ray class fields are
`smooth' in a sense that facilitates exact calculations. As a result the
algorithm becomes easier to explain. We give solutions for seventeen different
dimensions of this form, reaching $d = 39604$. Several improvements relative to
our previous publication are reported, but we cannot offer a proof that the
algorithm works for any dimensions where it has not been tested.
- Abstract（参考訳）: 次元$d$の複素ヒルベルト空間における等角線(あるいはSIC)の最大集合の存在問題は、大半開である。
以前の出版物 (arXiv:2112.05552) では、$d = n^2+3 = p$, a prime number とすると、SIC を構築する方法の導出アルゴリズムが与えられた。
おそらく、このアルゴリズムの最も驚くべき数論的な側面は、スターク単位がキーロールに現れることである: 実二次体のレイクラス場拡張からの1つのスターク単位は、SICが構築されるシードとして機能する。
このアルゴリズムは、すべての次元$d = n^2+3$ に適用するように修正することができる。
ここでは、2つの理由で$d=n^2+3 = 4p$, $p$ primeの場合に焦点を当てる。
まず、次元が偶数である場合には、問題のヒルベルト空間側で特別な測度を取らなければならない。
第二に、関連するレイ類場の次数は、正確な計算を容易にする意味で「滑らか」である。
その結果、アルゴリズムの説明がより簡単になる。
この形式の17の異なる次元に対して解を与え、$d = 39604$に達する。
前回の論文と比較していくつかの改善が報告されているが、テストされていない任意の次元でアルゴリズムが動作するという証拠は提供できない。
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