論文の概要: SIC-POVMs and orders of real quadratic fields

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.08048v3
• Date: Sat, 28 Dec 2024 01:18:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-31 15:59:48.308507
• Title: SIC-POVMs and orders of real quadratic fields
• Title（参考訳）: SIC-POVMと実二次体の位数
• Authors: Gene S. Kopp, Jeffrey C. Lagarias,
• Abstract要約: 低次元のワイル・ハイゼンベルクSICの構造と分類に関する既知のデータを示す。 我々は、SICのガロア倍数は、オーバーオーダーの$mathcalO_Delta$と1対1で対応していると推測する。 我々は、Appleby, Flammia, McConnell, Yard の類体仮説を洗練し、a を定義する等角線に対するベクトルエントリの比によって生成される$mathbbQ(sqrt(d+1)(d-3))$ 上の正確な類体を予測する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: This paper concerns SIC-POVMs and their relationship to class field theory. SIC-POVMs are generalized quantum measurements (POVMs) described by $d^2$ equiangular complex lines through the origin in $\mathbb{C}^d$. Weyl--Heisenberg SICs are those SIC-POVMs described by the orbit a single vector under a finite Weyl--Heisenberg group ${\rm WH}(d)$. We relate known data on the structure and classification of Weyl--Heisenberg SICs in low dimensions to arithmetic data attached to certain orders of real quadratic fields. For $4 \le d \le 90$, we show the number of known geometric equivalence classes of Weyl--Heisenberg SICs in dimension $d$ equals the cardinality of the ideal class monoid of the real quadratic order $\mathcal{O}_{\Delta}$ of discriminant $\Delta=(d+1)(d-3)$; we conjecture the equality extends to all $d \ge 4$. We prove that this conjecture implies the existence of more than one geometric equivalence class of Weyl--Heisenberg SICs for $d > 22$. We conjecture Galois multiplets of SICs are in one-to-one correspondence with the over-orders $\mathcal{O}'$ of $\mathcal{O}_{\Delta}$ in such a way that the number of classes in the multiplet equals the ring class number of $\mathcal{O}'$. We test that conjecture against known data on exact SICs in low dimensions. We refine the class field hypothesis of Appleby, Flammia, McConnell, and Yard (arXiv:1604.06098) to predict the exact class field over $\mathbb{Q}(\sqrt{(d+1)(d-3)})$ generated by the ratios of vector entries for the equiangular lines defining a Weyl--Heisenberg SIC. The refined conjectures use a recently developed class field theory for orders of number fields (arXiv:2212.09177). The refined class fields assigned to over-orders $\mathcal{O}'$ have a natural partial order under inclusion; the inclusions of these fields fail to be strict in some cases. We characterize such cases and give a table of them for $d < 500$.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,SIC-POVMと類体論との関係について述べる。 SIC-POVM(SIC-POVMs)は、$d^2$の等角複素線で表される一般化量子測度(POVMs)である。 ワイル-ハイゼンベルグ SIC は、有限ワイル-ハイゼンベルグ群 ${\rm WH}(d)$. 低次元のワイル-ハイゼンベルグ SIC の構造と分類に関する既知のデータと実二次体の特定の順序に付随する算術データとを関連付ける。 4 \le d \le 90$ に対して、次元 $d$ のワイル=ハイゼンベルク SIC の既知の幾何同値類数は、実二次位数 $\mathcal{O}_{\Delta}$ のイデアル類モノイドの濃度と等しい。 この予想は、ワイル=ハイゼンベルク SICs の 1 つ以上の幾何同値類が$d > 22$ で存在することを証明している。 我々は、SIC のガロア多重体は、オーバーオーダー $\mathcal{O}'$ of $\mathcal{O}_{\Delta}$ と 1 対 1 の対応において、多重体のクラス数が $\mathcal{O}'$ の環クラス数に等しいように予想する。 我々は、この予想を低次元の正確なSIC上の既知のデータに対して検証する。 We refine the class field hypothesis of Appleby, Flammia, McConnell, and Yard (arXiv:1604.06098) to predict the exact class field over $\mathbb{Q}(\sqrt{(d+1)(d-3)})$ generated by the ratios of vector vector vector for the equiangular lines defined a Weyl-Heisenberg SIC。 洗練された予想は、最近開発された類体論を数体の順序(arXiv:2212.09177)に用いている。 オーバーオーダーに割り当てられた洗練されたクラス体 $\mathcal{O}'$ は自然部分順序を含む。 このようなケースを特徴付け、そのテーブルを$d < 500$で提供します。

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