論文の概要: Efficiency of k-Local Quantum Search and its Adiabatic Variant on Random
k-SAT
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.03237v1
- Date: Tue, 5 Mar 2024 15:03:47 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-03-07 17:16:31.878753
- Title: Efficiency of k-Local Quantum Search and its Adiabatic Variant on Random
k-SAT
- Title（参考訳）: ランダムk-SATにおけるk-局所量子探索の効率とアダバティックバリアント
- Authors: Mingyou Wu
- Abstract要約: 本稿では、$k$-local quantum searchと呼ばれる、構造化量子探索アルゴリズムのファミリーを紹介する。
最大$k$-SSATは、平均ケース複雑性理論に基づく$m=Omega(n2+epsilon)$が平均であることを証明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The computational complexity of random $k$-SAT problem is contingent on the
clause number $m$. In classical computing, a satisfiability threshold is
identified at $m=r_k n$, marking the transition of random $k$-SAT from
solubility to insolubility. However, beyond this established threshold,
comprehending the complexity remains challenging. On quantum computers, direct
application of Grover's unstructured quantum search still yields exponential
time requirements due to oversight of structural information. This paper
introduces a family of structured quantum search algorithms, termed $k$-local
quantum search, designed to address the $k$-SAT problem. Because search
algorithm necessitates the presence of a target, our focus is specifically on
the satisfiable side of $k$-SAT, i.e., max-$k$-SAT on satisfiable instances,
denoted as max-$k$-SSAT, with a small $k \ge 3$. For random instances with
$m=\Omega(n^{2+\epsilon})$, general exponential acceleration is proven for any
small $\epsilon>0$ and sufficiently large $n$. Furthermore, adiabatic $k$-local
quantum search improves the bound of general efficiency to
$m=\Omega(n^{1+\epsilon})$, within an evolution time of $\mathcal{O}(n^2)$.
Specifically, for $m=\Theta(n^{1+\delta+\epsilon})$, the efficiency is
guaranteed in a probability of $1-\mathcal{O}(\mathrm{erfc}(n^{\delta/2}))$. By
modifying this algorithm capable of solving all instances, we prove that the
max-$k$-SSAT is polynomial on average if $m=\Omega(n^{2+\epsilon})$ based on
the average-case complexity theory.
- Abstract（参考訳）: ランダムな $k$-sat 問題の計算複雑性は、節番号 $m$ に付随する。
古典コンピューティングでは、溶解度から溶解度へのランダムな$k$-SATの遷移を示す、$m=r_k n$で満足度しきい値が特定される。
しかし、この確立されたしきい値を超えて、複雑さの理解は依然として困難である。
量子コンピュータでは、グロバーの非構造的量子探索の直接適用は、構造情報の監視による指数時間要求をもたらす。
本稿では、$k$-SAT問題に対処するために設計された、$k$-local quantum searchと呼ばれる構造化量子検索アルゴリズムのファミリーを紹介する。
探索アルゴリズムはターゲットの存在を必要とするため、我々の焦点は特に$k$-SATの満足度の高い側、すなわちmax-k$-SSATと表記されるインスタンスのmax-k$-SSATであり、小さな$k \ge 3$である。
m=\omega(n^{2+\epsilon})$のランダムインスタンスの場合、一般的な指数加速度は小さな$\epsilon>0$と十分大きい$n$に対して証明される。
さらに、adiabatic $k$-local quantum searchは、$\mathcal{O}(n^2)$の進化時間内で、一般効率の上限を$m=\Omega(n^{1+\epsilon})$に改善する。
具体的には、$m=\Theta(n^{1+\delta+\epsilon})$の場合、効率は1-\mathcal{O}(\mathrm{erfc}(n^{\delta/2})$の確率で保証される。
このアルゴリズムをすべてのインスタンスを解くことができるように修正することにより、m = Omega(n^{2+\epsilon})$が平均ケース複雑性理論に基づいて多項式であることが証明される。
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