論文の概要: Sign problem in tensor network contraction

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.19023v2
• Date: Sat, 18 Jan 2025 12:08:23 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-22 14:14:45.513570
• Title: Sign problem in tensor network contraction
• Title（参考訳）: テンソルネットワーク収縮における符号問題
• Authors: Jielun Chen, Jiaqing Jiang, Dominik Hangleiter, Norbert Schuch,
• Abstract要約: テンソルネットワークの収縮の難しさはテンソルエントリの符号構造に依存するかを検討する。 難易度から易度への遷移は、成分が主に正になるときに起こる。 また、テンソルネットワーク波動関数の予測値の計算困難さについても検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5437298646956507
• License:
• Abstract: We investigate how the computational difficulty of contracting tensor networks depends on the sign structure of the tensor entries. Using results from computational complexity, we observe that the approximate contraction of tensor networks with only positive entries has lower complexity. This raises the question how this transition in computational complexity manifests itself in the hardness of different contraction schemes. We pursue this question by studying random tensor networks with varying bias towards positive entries. First, we consider contraction via Monte Carlo sampling, and find that the transition from hard to easy occurs when the entries become predominantly positive; this can be seen as a tensor network manifestation of the Quantum Monte Carlo sign problem. Second, we analyze the commonly used contraction based on boundary tensor networks. Its performance is governed by the amount of correlations (entanglement) in the tensor network. Remarkably, we find that the transition from hard to easy (i.e., from a volume law to a boundary law scaling of entanglement) occurs already for a slight bias towards a positive mean, and the earlier the larger the bond dimension is. This is in contrast to both expectations and the behavior found in Monte Carlo contraction. We gain further insight into this early transition from the study of an effective statmech model. Finally, we investigate the computational difficulty of computing expectation values of tensor network wavefunctions, i.e., PEPS, where we find that the complexity of entanglement-based contraction always remains low. We explain this by providing a local transformation which maps PEPS expectation values to a positive-valued tensor network. This not only provides insight into the origin of the observed boundary law entanglement scaling, but also suggests new approaches towards PEPS contraction based on positive decompositions.
• Abstract（参考訳）: テンソルネットワークの縮小の計算困難さはテンソルエントリの符号構造に依存するかを検討する。 計算複雑性の結果を用いて、正の成分しか持たないテンソルネットワークの近似縮約がより少ないことを観察する。 このことは、計算複雑性におけるこの遷移が、異なる収縮スキームの硬さにどのように現れているのかという疑問を提起する。 我々は、正のエントリに対するバイアスが異なるランダムなテンソルネットワークを研究することによって、この問題を追求する。 まず、モンテカルロサンプリングによる縮約を考察し、成分が主に正となるとき、難しい状態から簡単な状態への遷移が生じることを発見し、これは量子モンテカルロ符号問題のテンソルネットワークの顕在化として見ることができる。 第2に、境界テンソルネットワークに基づいて、よく使われる収縮を分析する。 その性能はテンソルネットワークにおける相関(絡み合い)の量によって支配される。 注目すべきことに、結合次元がより大きいほど(体積法則から絡み合う境界法へのスケーリング)、わずかに偏りが生じる。 これは、モンテカルロの収縮に見られる期待と振舞いの両方とは対照的である。 有効な統計モデルの研究から、この初期の遷移についてさらなる知見を得る。 最後に,テンソルネットワーク波動関数の予測値,すなわちPEPSの計算困難さについて検討し,絡み合いに基づく収縮の複雑さが常に低いことを示す。 PEPS期待値を正値テンソルネットワークにマッピングする局所変換を提供することで、これを説明できる。 これは、観測された境界法絡み合いのスケーリングの起源に関する洞察を与えるだけでなく、正の分解に基づくPEPS収縮に対する新しいアプローチも提案する。

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