論文の概要: GMC-PINNs: A new general Monte Carlo PINNs method for solving fractional partial differential equations on irregular domains
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.00217v1
- Date: Tue, 30 Apr 2024 21:52:15 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-02 16:56:48.465585
- Title: GMC-PINNs: A new general Monte Carlo PINNs method for solving fractional partial differential equations on irregular domains
- Title（参考訳）: GMC-PINNs:不規則領域上の分数偏微分方程式を解くための新しい一般モンテカルロPINNs法
- Authors: Shupeng Wang, George Em Karniadakis,
- Abstract要約: 不規則領域上のfPDEを解くための新しい一般(準)モンテカルロPINNを提案する。
より一般的なモンテカルロ近似法を用いて異なる fPDE を解く。
本研究は,不規則領域問題に対するGCC-PINNの有効性を実証し,元のfPINN法と比較して高い計算効率を示した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.051523221722475
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Physics-Informed Neural Networks (PINNs) have been widely used for solving partial differential equations (PDEs) of different types, including fractional PDEs (fPDES) [29]. Herein, we propose a new general (quasi) Monte Carlo PINN for solving fPDEs on irregular domains. Specifically, instead of approximating fractional derivatives by Monte Carlo approximations of integrals as was done previously in [31], we use a more general Monte Carlo approximation method to solve different fPDEs, which is valid for fractional differentiation under any definition. Moreover, based on the ensemble probability density function, the generated nodes are all located in denser regions near the target point where we perform the differentiation. This has an unexpected connection with known finite difference methods on non-equidistant or nested grids, and hence our method inherits their advantages. At the same time, the generated nodes exhibit a block-like dense distribution, leading to a good computational efficiency of this approach. We present the framework for using this algorithm and apply it to several examples. Our results demonstrate the effectiveness of GMC-PINNs in dealing with irregular domain problems and show a higher computational efficiency compared to the original fPINN method. We also include comparisons with the Monte Carlo fPINN [31]. Finally, we use examples to demonstrate the effectiveness of the method in dealing with fuzzy boundary location problems, and then use the method to solve the coupled 3D fractional Bloch-Torrey equation defined in the ventricular domain of the human brain, and compare the results with classical numerical methods.
- Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、分数PDE(fPDES)[29]を含む、異なるタイプの偏微分方程式(PDE)を解くために広く用いられている。
本稿では不規則領域上のfPDEを解くための新しい一般(準)モンテカルロPINNを提案する。
具体的には、[31] で以前に述べたような積分のモンテカルロ近似による分数微分を近似する代わりに、より一般的なモンテカルロ近似法を用いて異なる fPDE を解く。
さらに、アンサンブル確率密度関数に基づいて、生成したノードはすべて、その微分を行う対象点の近くのより密度の高い領域に位置している。
これは、非平衡格子やネスト格子上の既知の有限差分法と予期せぬ関係を持ち、したがって、我々の手法はそれらの利点を継承する。
同時に、生成されたノードはブロックのような密度分布を示し、このアプローチの優れた計算効率をもたらす。
本稿では,このアルゴリズムを応用するためのフレームワークを提案し,いくつかの例に応用する。
本研究は,不規則領域問題に対するGCC-PINNの有効性を実証し,元のfPINN法と比較して高い計算効率を示した。
モンテカルロ fPINN [31] との比較も含んでいる。
最後に, ファジィ境界問題に対処する手法の有効性を実例で示すとともに, ヒト脳の心室領域で定義される3次元分数Bloch-Torrey方程式の解法を用いて, 古典的数値法との比較を行った。
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