論文の概要: Diffeomorphic interpolation for efficient persistence-based topological optimization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.18820v1
- Date: Wed, 29 May 2024 07:00:28 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-30 18:28:55.402999
- Title: Diffeomorphic interpolation for efficient persistence-based topological optimization
- Title（参考訳）: 効率的な持続型位相最適化のための微分型補間法
- Authors: Mathieu Carriere, Marc Theveneau, Théo Lacombe,
- Abstract要約: トポロジカルデータ分析(TDA)は、構造化オブジェクトから定量的トポロジカル記述子を抽出するパイプラインを提供する。
提案手法は, サブサンプル上で計算された勾配から導出される微分同相を, 完全な入力対象の座標を更新するために有効であることを示す。
我々はまた,ブラックボックスオートエンコーダ(AE)正則化に対する我々のアプローチの妥当性を示す。そこでは,固定,事前学習,ブラックボックスAEモデルに関連する潜伏空間のトポロジ的先行を強制することを目的としている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.7550827441501844
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Topological Data Analysis (TDA) provides a pipeline to extract quantitative topological descriptors from structured objects. This enables the definition of topological loss functions, which assert to what extent a given object exhibits some topological properties. These losses can then be used to perform topological optimizationvia gradient descent routines. While theoretically sounded, topological optimization faces an important challenge: gradients tend to be extremely sparse, in the sense that the loss function typically depends on only very few coordinates of the input object, yielding dramatically slow optimization schemes in practice.Focusing on the central case of topological optimization for point clouds, we propose in this work to overcome this limitation using diffeomorphic interpolation, turning sparse gradients into smooth vector fields defined on the whole space, with quantifiable Lipschitz constants. In particular, we show that our approach combines efficiently with subsampling techniques routinely used in TDA, as the diffeomorphism derived from the gradient computed on a subsample can be used to update the coordinates of the full input object, allowing us to perform topological optimization on point clouds at an unprecedented scale. Finally, we also showcase the relevance of our approach for black-box autoencoder (AE) regularization, where we aim at enforcing topological priors on the latent spaces associated to fixed, pre-trained, black-box AE models, and where we show thatlearning a diffeomorphic flow can be done once and then re-applied to new data in linear time (while vanilla topological optimization has to be re-run from scratch). Moreover, reverting the flow allows us to generate data by sampling the topologically-optimized latent space directly, yielding better interpretability of the model.
- Abstract（参考訳）: トポロジカルデータ分析(TDA)は、構造化オブジェクトから定量的トポロジカル記述子を抽出するパイプラインを提供する。
これにより、ある対象が幾らかの位相的性質を示す範囲を主張する位相的損失函数の定義が可能になる。
これらの損失は、トポロジカル最適化勾配降下ルーチンの実行に使用できる。
勾配は極めてスパースである傾向があるが、一般に損失関数は入力対象のごくわずかな座標にのみ依存するので、実際は劇的に遅い最適化スキームが得られるので、点雲の位相最適化の中心的なケースに着目して、微分型補間を用いてこの制限を克服し、スパース勾配を空間全体上で定義された滑らかなベクトル場に、量子化リプシッツ定数で変換する。
特に,本手法は,TDAで日常的に使用されるサブサンプリング手法と効率的に組み合わせることで,サブサンプル上で計算された勾配から導出される微分同相法を用いて,全入力オブジェクトの座標を更新し,前例のないスケールで点雲の位相最適化を行うことができることを示す。
最後に,ブラックボックスオートエンコーダ(AE)正則化に対する我々のアプローチの妥当性を示すとともに,固定,事前学習,ブラックボックスAEモデルに関連する潜在空間のトポロジ的事前適用を目標とし,微分型フローの学習を一度に行うことができ,線形時間で新たなデータに再適用可能であることを示す(ただし,バニラトポロジ的最適化はスクラッチから再実行する必要がある)。
さらに、フローを反転させることで、トポロジ的に最適化された潜在空間を直接サンプリングすることでデータを生成することができ、モデルのより優れた解釈可能性が得られる。
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