論文の概要: Approximate Unitary $k$-Designs from Shallow, Low-Communication Circuits

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.07876v2
• Date: Thu, 11 Jul 2024 17:56:53 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-12 12:07:17.688544
• Title: Approximate Unitary $k$-Designs from Shallow, Low-Communication Circuits
• Title（参考訳）: 浅低周波回路からの近似ユニタリ$k$-Designs
• Authors: Nicholas LaRacuente, Felix Leditzky,
• Abstract要約: 近似ユニタリ$k$-デザインは、平均が最初の$k$モーメントまでのハールランダムアンサンブルに近いようなユニタリと測度のアンサンブルである。 我々はサブシステム間の通信がシステムサイズで$O(1)$である乗法誤り近似単位の$k$-designアンサンブルを構築する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.844618776091756
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Random unitaries are useful in quantum information and related fields but hard to generate with limited resources. An approximate unitary $k$-design is an ensemble of unitaries and measure over which the average is close to a Haar (uniformly) random ensemble up to the first $k$ moments. A particularly strong notion of approximation bounds the distance from Haar randomness in relative error: the approximate design can be written as a convex combination involving an exact design and vice versa. We construct multiplicative-error approximate unitary $k$-design ensembles for which communication between subsystems is $O(1)$ in the system size. These constructions use the alternating projection method to analyze overlapping Haar twirls, giving a bound on the convergence speed to the full twirl with respect to the $2$-norm. Using von Neumann subalgebra indices to replace system dimension, the 2-norm distance converts to relative error without introducing any additional dimension dependence. Via recursion on these constructions, we construct a scheme yielding relative error designs in $O \big ( (k \log k + \log m + \log(1/\epsilon) ) k\, \text{polylog}(k) \big )$ depth, where $m$ is the number of qudits in the complete system and $\epsilon$ the approximation error. This sublinear depth construction answers one variant of [Harrow and Mehraban 2023, Open Problem 1]. Moreover, entanglement generated by the sublinear depth scheme follows area laws on spatial lattices up to corrections logarithmic in the full system size.
• Abstract（参考訳）: ランダムユニタリは量子情報や関連分野において有用であるが、限られた資源で生成することは困難である。 近似ユニタリ$k$-デザインは、平均が最初の$k$モーメントまでの(一様)ランダムアンサンブルに近いようなユニタリと測度のアンサンブルである。 近似の特に強い概念は相対誤差におけるハールランダムネスからの距離の境界であり、近似設計は正確な設計を含む凸結合として記述できる。 我々はサブシステム間の通信がシステムサイズで$O(1)$である乗法誤り近似単位の$k$-designアンサンブルを構築する。 これらの構造は交互射影法を用いて重なり合うハール・ツワールを解析し、2ドルのノルムに関してフル・ツワールへの収束速度に制限を与える。 フォン・ノイマン部分代数指数を用いて系次元を置き換えると、2-ノルム距離は余剰次元依存を導入することなく相対誤差に変換される。 これらの構成を再帰することにより、相対誤差設計を$O \big ( (k \log k + \log m + \log(1/\epsilon) ) k\, \text{polylog}(k) \big )$ depth, ここで$m$はシステム全体のキューディット数であり、$\epsilon$は近似誤差である。 この線形深度構成は[Harrow and Mehraban 2023, Open Issue 1]の1つの変種に答える。 さらに、下線深度スキームによって生じる絡み合いは、空間格子上の領域法則に従って、全系サイズで対数的な補正を行う。

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