論文の概要: Persistent Homology via Ellipsoids
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.11450v1
- Date: Wed, 21 Aug 2024 09:10:27 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-22 17:49:48.085161
- Title: Persistent Homology via Ellipsoids
- Title（参考訳）: 楕円体による永続ホモロジー
- Authors: Sara Kališnik, Bastian Rieck, Ana Žegarac,
- Abstract要約: 我々は楕円体錯体と呼ばれる幾何学的にインフォームドされた単体複合体を構築した。
この複合体は、楕円体が接方向に沿って、データをよりよく近似するという考えに基づいている。
実験を行い、楕円形のバーコードと標準Ripのバーコードを比較する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.108680020079925
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Persistent homology is one of the most popular methods in Topological Data Analysis. An initial step in any analysis with persistent homology involves constructing a nested sequence of simplicial complexes, called a filtration, from a point cloud. There is an abundance of different complexes to choose from, with Rips, Alpha, and witness complexes being popular choices. In this manuscript, we build a different type of a geometrically-informed simplicial complex, called an ellipsoid complex. This complex is based on the idea that ellipsoids aligned with tangent directions better approximate the data compared to conventional (Euclidean) balls centered at sample points that are used in the construction of Rips and Alpha complexes, for instance. We use Principal Component Analysis to estimate tangent spaces directly from samples and present algorithms as well as an implementation for computing ellipsoid barcodes, i.e., topological descriptors based on ellipsoid complexes. Furthermore, we conduct extensive experiments and compare ellipsoid barcodes with standard Rips barcodes. Our findings indicate that ellipsoid complexes are particularly effective for estimating homology of manifolds and spaces with bottlenecks from samples. In particular, the persistence intervals corresponding to a ground-truth topological feature are longer compared to the intervals obtained when using the Rips complex of the data. Furthermore, ellipsoid barcodes lead to better classification results in sparsely-sampled point clouds. Finally, we demonstrate that ellipsoid barcodes outperform Rips barcodes in classification tasks.
- Abstract（参考訳）: 永続ホモロジー(Persistent homology)は、トポロジカルデータ分析において最も一般的な手法の1つである。
永続ホモロジーを持つ解析の最初のステップは、点雲からフィルターと呼ばれる単体錯体のネスト配列を構築することである。
リップス、アルファ、および証人複合体が一般的な選択であるので、選択すべき様々な複合体が多数存在する。
本写本では, 楕円体複合体と呼ばれる, 幾何学的にインフォームドされた単体複合体の異なるタイプを構築している。
この複体は、例えば、リプスとアルファ錯体の構築に使用されるサンプル点を中心とする従来の(ユークリッド)球と比較して、接方向に沿った楕円体がデータをよりよく近似するという考えに基づいている。
主成分分析を用いて、サンプルから直接接空間を推定し、アルゴリズムを提示するとともに、楕円体複素数に基づく位相記述子を計算するための実装を行う。
さらに,エリスコイドバーコードと標準Ripsバーコードとの比較を行った。
このことから, 楕円体錯体は, 試料からのボトルネックを伴う多様体や空間のホモロジーを推定するのに特に有効であることが示唆された。
特に、そのデータのRipsコンプレックスを用いて得られた区間と比較して、地絡トポロジカル特徴に対応する持続間隔が長くなる。
さらに、楕円体バーコードにより、スパースサンプリングされた点雲の分類結果が改善される。
最後に, 楕円型バーコードは分類タスクにおいてRipsバーコードより優れていることを示す。
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