論文の概要: Persistent Homology via Ellipsoids
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.11450v2
- Date: Tue, 14 Oct 2025 09:35:56 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-10-15 19:02:31.913675
- Title: Persistent Homology via Ellipsoids
- Title（参考訳）: 楕円体による永続ホモロジー
- Authors: Niklas Canova, Sara Kališnik, Aaron Moser, Bastian Rieck, Ana Žegarac,
- Abstract要約: 我々は、Rips型楕円体複合体と呼ばれる、幾何学的に情報を得る新しいタイプの単体複合体を構築した。
この複合体は、楕円体が接方向に沿って、データをよりよく近似するという考えに基づいている。
楕円体バーコードは入力データに連続的に依存し, k-ジネリック・ポイント・クラウドの小さな摂動が結果として生じる楕円体バーコードに比例的に小さな変化をもたらすことを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.574590414586732
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Persistent homology is one of the most popular methods in topological data analysis. An initial step in its use involves constructing a nested sequence of simplicial complexes. There is an abundance of different complexes to choose from, with \v{C}ech, Rips, alpha, and witness complexes being popular choices. In this manuscript, we build a novel type of geometrically informed simplicial complex, called a Rips-type ellipsoid complex. This complex is based on the idea that ellipsoids aligned with tangent directions better approximate the data compared to conventional (Euclidean) balls centered at sample points, as used in the construction of Rips and Alpha complexes. We use Principal Component Analysis to estimate tangent spaces directly from samples and present an algorithm for computing Rips-type ellipsoid barcodes, i.e., topological descriptors based on Rips-type ellipsoid complexes. Additionally, we show that the ellipsoid barcodes depend continuously on the input data so that small perturbations of a k-generic point cloud lead to proportionally small changes in the resulting ellipsoid barcodes. This provides a theoretical guarantee analogous, if somewhat weaker, to the classical stability results for Rips and \v{C}ech filtrations. We also conduct extensive experiments and compare Rips-type ellipsoid barcodes with standard Rips barcodes. Our findings indicate that Rips-type ellipsoid complexes are particularly effective for estimating the homology of manifolds and spaces with bottlenecks from samples. In particular, the persistence intervals corresponding to ground-truth topological features are longer compared to those obtained using the Rips complex of the data. Furthermore, Rips-type ellipsoid barcodes lead to better classification results in sparsely sampled point clouds. Finally, we demonstrate that Rips-type ellipsoid barcodes outperform Rips barcodes in classification tasks.
- Abstract（参考訳）: 永続ホモロジー(Persistent homology)は、トポロジカルデータ解析において最も一般的な手法の1つである。
その使用の最初のステップは、単純錯体のネスト配列を構築することである。
v{C}ech, Rips, α, および証人錯体が一般的な選択である。
本写本では,Rips型エリプシド複合体と呼ばれる,幾何学的に情報を得た新規な単体複合体を構築した。
この複体は、リップスとアルファ錯体の構築において用いられるような、サンプル点を中心とする従来の(ユークリッド)球と比べて、接方向に沿った楕円体がデータをよりよく近似するという考えに基づいている。
主成分分析を用いてサンプルから直接接空間を推定し,Rip型楕円体バーコード,すなわちRip型楕円体錯体に基づくトポロジカルディスクリプタの計算アルゴリズムを提案する。
さらに, 楕円体バーコードは入力データに連続的に依存し, k-ジネリック・ポイント・クラウドの小さな摂動が結果として生じる楕円体バーコードに比例的に小さな変化をもたらすことを示す。
これは、Rips や \v{C}ech 濾過の古典的な安定性の結果に類似する理論的な保証を与える。
また,Rip型楕円型バーコードと標準Rip型バーコードとの比較を行った。
以上の結果から,Rips型エリプシド錯体は,試料のボトルネックを伴って多様体や空間のホモロジーを推定するのに特に有効であることが示唆された。
特に、地表面のトポロジカルな特徴に対応する持続間隔は、データのRipsコンプレックスを用いて得られた時間よりも長い。
さらに、リップス型楕円体バーコードにより、わずかにサンプリングされた点雲の分類結果が改善される。
最後に,Rips型楕円型バーコードは分類タスクにおいてRipsバーコードよりも優れていることを示す。
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