論文の概要: Improved Circuit Lower Bounds With Applications to Exponential Separations Between Quantum and Classical Circuits
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.16406v1
- Date: Thu, 29 Aug 2024 10:09:01 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-30 14:12:45.230917
- Title: Improved Circuit Lower Bounds With Applications to Exponential Separations Between Quantum and Classical Circuits
- Title（参考訳）: 量子回路と古典回路の指数分離への応用による回路下界の改善
- Authors: Sabee Grewal, Vinayak M. Kumar,
- Abstract要約: GC0 は AC0 であり、十分に小さな球の内部で振る舞う Tal-fan-in ゲートは外部で一定でなければならない。
本稿では,AC0[p]リフトのHam-lemma下限をGC0[p]に限定し,パラメータの損失を伴わないことを示す。
また、量子回路と古典回路の最も強い非条件分離を確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Kumar used a switching lemma to prove exponential-size lower bounds for a circuit class GC^0 that not only contains AC^0 but can--with a single gate--compute functions that require exponential-size TC^0 circuits. His main result was that switching-lemma lower bounds for AC^0 lift to GC^0 with no loss in parameters, even though GC^0 requires exponential-size TC^0 circuits. Informally, GC^0 is AC^0 with unbounded-fan-in gates that behave arbitrarily inside a sufficiently small Hamming ball but must be constant outside it. We show an analogous result for GC^0[p] (GC^0 with MODp gates) and the polynomial method. Specifically, we show that polynomial-method lower bounds for AC^0[p] lift to GC^0[p] with no loss in parameters. As an application, we prove Majority requires depth-d GC^0[p] circuits of size $2^{\Omega(n^{1/2(d-1)})}$, matching the state-of-the-art lower bounds for AC^0[p]. We also show that E^NP requires exponential-size GCC^0 circuits (the union of GC^0[m] for all m), extending the result of Williams. It is striking that the switching lemma, polynomial method, and algorithmic method all generalize to GC^0-related classes, with the first two methods doing so without any loss. We also establish the strongest known unconditional separations between quantum and classical circuits: 1. There's an oracle relative to which BQP is not contained in the class of languages decidable by uniform families of size-$2^{n^{O(1)}}$ GC^0 circuits, generalizing Raz and Tal's relativized separation of BQP from the polynomial hierarchy. 2. There's a search problem that QNC^0 circuits can solve but average-case hard for exponential-size GC^0 circuits. 3. There's a search problem that QNC^0/qpoly circuits can solve but average-case hard for exponential-size GC^0[p] circuits. 4. There's an interactive problem that QNC^0 circuits can solve but exponential-size GC^0[p] circuits cannot.
- Abstract（参考訳）: Kumar は AC^0 だけでなく、指数サイズの TC^0 回路を必要とする単一のゲート演算関数を持つ回路クラス GC^0 に対して指数サイズの下界を証明するためにスイッチング補題を使用した。
主な結果は、GC^0が指数サイズのTC^0回路を必要とするにもかかわらず、パラメータが失われることなくAC^0リフトをGC^0に切り替えることである。
直交的に、GC^0 は AC^0 であり、十分に小さなハミング球の内部で任意に振る舞う非有界ファンインゲートを持つ。
本稿では,GC^0[p](MODpゲート付きGC^0)と多項式法について類似した結果を示す。
具体的には,AC^0[p] を GC^0[p] に昇降させる多項式法の下界がパラメータの損失を伴わないことを示す。
応用として、Majorityは270Omega(n^{1/2(d-1)})}$の深さd GC^0[p]回路を必要とすることを証明し、AC^0[p]の最先端下界と一致する。
また、E^NP は指数サイズの GCC^0 回路(すべての m に対して GC^0[m] の結合)を必要とすることを示し、ウィリアムズの結果を拡張した。
スイッチング補題、多項式法、アルゴリズム法はすべてGC^0関連クラスに一般化され、最初の2つのメソッドは損失を伴わない。
1) BQP が多項式階層から Rz と Tal の相対化された BQP の分離を一般化し、サイズが 2^{n^{O(1)}}$ GC^0 の均一な族で決定できる言語群に含まれないオラクルが存在する。
2) 指数型GC^0回路ではQNC^0回路は解けるが, 平均ケースハードは難しい。
3) QNC^0/qpoly回路は, 指数型GC^0[p]回路では, 平均ケースハードで解くことができる。
4) QNC^0 回路では解けるが指数サイズの GC^0[p] 回路では解けない。
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