論文の概要: Coupled Integral PINN for conservation law

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.11276v1
• Date: Mon, 18 Nov 2024 04:32:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-19 14:26:29.600790
• Title: Coupled Integral PINN for conservation law
• Title（参考訳）: 保全法のための結合型積分PINN
• Authors: Yeping Wang, Shihao Yang,
• Abstract要約: The Physics-Informed Neural Network (PINN) は、様々な偏微分方程式を解く革新的な手法である。 本稿では,ニューラルネットワークを用いた積分解方程式の組込みを含む,結合統合型PINN手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9720482348156743
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• Abstract: The Physics-Informed Neural Network (PINN) is an innovative approach to solve a diverse array of partial differential equations (PDEs) leveraging the power of neural networks. This is achieved by minimizing the residual loss associated with the explicit physical information, usually coupled with data derived from initial and boundary conditions. However, a challenge arises in the context of nonlinear conservation laws where derivatives are undefined at shocks, leading to solutions that deviate from the true physical phenomena. To solve this issue, the physical solution must be extracted from the weak formulation of the PDE and is typically further bounded by entropy conditions. Within the numerical framework, finite volume methods (FVM) are employed to address conservation laws. These methods resolve the integral form of conservation laws and delineate the shock characteristics. Inspired by the principles underlying FVM, this paper introduces a novel Coupled Integrated PINN methodology that involves fitting the integral solutions of equations using additional neural networks. This technique not only augments the conventional PINN's capability in modeling shock waves, but also eliminates the need for spatial and temporal discretization. As such, it bypasses the complexities of numerical integration and reconstruction associated with non-convex fluxes. Finally, we show that the proposed new Integrated PINN performs well in conservative law and outperforms the vanilla PINN when tackle the challenging shock problems using examples of Burger's equation, Buckley-Leverett Equation and Euler System.
• Abstract（参考訳）: The Physics-Informed Neural Network (PINN)は、ニューラルネットワークのパワーを活用する様々な偏微分方程式(PDE)を解く革新的なアプローチである。 これは、明示的な物理情報に関連する残留損失を最小化し、通常、初期および境界条件から導出されたデータと結合することによって達成される。 しかし、非線型保存法則(英語版)の文脈では、微分は衝撃で未定義であり、真の物理現象から逸脱する解をもたらす。 この問題を解決するためには、物理解はPDEの弱い定式化から抽出されなければならず、典型的にはエントロピー条件によってさらに境界づけられる。 数値的な枠組みの中では、有限体積法(FVM)が保存則に対処するために用いられる。 これらの方法で保存法則の積分形式を解き、衝撃特性を規定する。 本稿では、FVMの基礎となる原理に着想を得て、追加のニューラルネットワークを用いて方程式の積分解を適合させる新しい結合統合PINN手法を提案する。 この技術は、従来のPINNの衝撃波モデリング能力を高めるだけでなく、空間的・時間的離散化の必要性を排除している。 そのため、非凸フラックスに関連する数値積分と再構成の複雑さを回避できる。 最後に,提案した統合PINNは保守的法則において良好に機能し,バーガー方程式,Buckley-Leverett方程式,オイラー方程式の例を用いて,難解な衝撃問題に対処する際,バニラPINNよりも優れていることを示す。

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