論文の概要: Monge-Kantorovich Fitting With Sobolev Budgets
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.16541v1
- Date: Wed, 25 Sep 2024 01:30:16 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-09-27 05:55:22.599960
- Title: Monge-Kantorovich Fitting With Sobolev Budgets
- Title（参考訳）: モンゲ・カントロヴィチ、ソボレフ予算で合意
- Authors: Forest Kobayashi, Jonathan Hayase, Young-Heon Kim,
- Abstract要約: 近似の性能をMonge-Kantorovich $p$-costで定量化する。
次に、ソボレフ予算の制約の下で、機能的$mathscrJ_p(f)$を最小化するものとして問題を再構築する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.748324975906262
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We consider the problem of finding the ``best'' approximation of an $n$-dimensional probability measure $\rho$ using a measure $\nu$ whose support is parametrized by $f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ where $m < n$. We quantify the performance of the approximation with the Monge-Kantorovich $p$-cost (also called the Wasserstein $p$-cost) $\mathbb{W}_p^p(\rho, \nu)$, and constrain the complexity of the approximation by bounding the $W^{k,q}$ Sobolev norm of $f$, which acts as a ``budget.'' We may then reformulate the problem as minimizing a functional $\mathscr{J}_p(f)$ under a constraint on the Sobolev budget. We treat general $k \geq 1$ for the Sobolev differentiability order (though $q, m$ are chosen to restrict $W^{k,q}$ to the supercritical regime $k q > m$ to guarantee existence of optimizers). The problem is closely related to (but distinct from) principal curves with length constraints when $m=1, k = 1$ and smoothing splines when $k > 1$. New aspects and challenges arise from the higher order differentiability condition. We study the gradient of $\mathscr{J}_p$, which is given by a vector field along $f$ we call the barycenter field. We use it to construct improvements to a given $f$, which gives a nontrivial (almost) strict monotonicty relation between the functional $\mathscr{J}_p$ and the Sobolev budget. We also provide a natural discretization scheme and establish its consistency. We use this scheme to model a generative learning task; in particular, we demonstrate that adding a constraint like ours as a soft penalty yields substantial improvement in training a GAN to produce images of handwritten digits, with performance competitive with weight-decay.
- Abstract（参考訳）: 我々は、$f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ ここで$m < n$ となる測度 $\nu$ を用いて、$n$-次元確率測度 $\rho$ の ``best'' 近似を求める問題を考える。
我々は、Monge-Kantorovich $p$-cost (Wasserstein $p$-cost) $\mathbb{W}_p^p(\rho, \nu)$で近似の性能を定量化し、$W^{k,q}$ Sobolevのノルムを$f$で束縛することで近似の複雑さを制限する。
すると、その問題を、Sobolev予算の制約の下で関数的な$\mathscr{J}_p(f)$を最小化するものとして再定義することができる。
一般の$k \geq 1$ をソボレフ微分可能性順序として扱う(ただし、$q, m$ は、最適化器の存在を保証するために、超臨界体制 $k q > m$ に$W^{k,q}$ を制限するために選ばれる)。
この問題は、$m=1, k = 1$ で、$k > 1$ で滑らかなスプラインを持つ主曲線(ただし、長さ制約を持つ)と密接に関連している。
新たな側面と課題は、高次微分可能性条件から生じます。
我々は、$f$ のベクトル場から与えられる $\mathscr{J}_p$ の勾配について研究する。
これは函数 $\mathscr{J}_p$ と Sobolev 予算の間の非自明な(ほとんど)厳密な単調性関係を与える。
また、自然な離散化スキームを提供し、一貫性を確立します。
この手法を用いて生成学習タスクをモデル化し、特に、ソフトペナルティとして我々のような制約を加えることで、手書き数字の画像を生成するためのGANのトレーニングが大幅に改善され、ウェイトデカイと性能が競合することを示す。
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