論文の概要: Double-Logarithmic Depth Block-Encodings of Simple Finite Difference Method's Matrices
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.05241v1
- Date: Mon, 7 Oct 2024 17:44:30 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-11-01 20:07:08.305218
- Title: Double-Logarithmic Depth Block-Encodings of Simple Finite Difference Method's Matrices
- Title（参考訳）: 単純差分法行列の二重対数深さブロック符号化
- Authors: Sunheang Ty, Renaud Vilmart, Axel TahmasebiMoradi, Chetra Mang,
- Abstract要約: 微分方程式の解法は、古典計算において最も計算コストがかかる問題の1つである。
量子コンピューティングと量子アルゴリズムの分野で最近の進歩にもかかわらず、実用的実現に向けたエンドツーエンドの応用はいまだに達成不可能である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Solving differential equations is one of the most computationally expensive problems in classical computing, occupying the vast majority of high-performance computing resources devoted towards practical applications in various fields of science and engineering. Despite recent progress made in the field of quantum computing and quantum algorithms, its end-to-end application towards practical realization still remains unattainable. In this article, we tackle one of the primary obstacles towards this ultimate objective, specifically the encoding of matrices derived via finite difference method solving Poisson partial differential equations in simple boundary-value problems. To that end, we propose a novel methodology called block-diagonalization, which provides a common decomposition form for our matrices, and similarly a common procedure for block-encoding these matrices inside a unitary operator of a quantum circuit. The depth of these circuits is double-logarithmic in the matrix size, which is an exponential improvement over existing quantum methods and a superexponential improvement over existing classical methods. These improvements come at the price of a constant multiplicative overhead on the number of qubits and the number of gates. Combined with quantum linear solver algorithms, we can utilize these quantum circuits to produce a quantum state representation of the solution to the Poisson partial differential equations and their boundary-value problems.
- Abstract（参考訳）: 微分方程式の解法は、古典コンピューティングにおいて最も計算コストがかかる問題の1つであり、科学と工学の様々な分野における実践的な応用に費やされる高性能な計算資源の大部分を占有している。
量子コンピューティングと量子アルゴリズムの分野で最近の進歩にもかかわらず、実用的実現に向けたエンドツーエンドの応用はいまだに達成不可能である。
本稿では,この目的に対する主要な障害の一つ,特に有限差分法により導出される行列の符号化を,単純な境界値問題におけるポアソン偏微分方程式の解法として扱う。
そこで本研究では,これらの行列を量子回路のユニタリ演算子内でブロックエンコードする手法であるブロック対角化法を提案する。
これらの回路の深さは行列サイズにおいて二重対数的であり、これは既存の量子法よりも指数関数的に改善され、既存の古典法よりも超指数的に改善されている。
これらの改善は、キュービット数とゲート数に一定の乗法的オーバーヘッドが伴う。
量子線形解法アルゴリズムと組み合わせて、これらの量子回路を用いて、ポアソン偏微分方程式とその境界値問題に対する解の量子状態表現を生成することができる。
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