論文の概要: Solving Functional Optimization with Deep Networks and Variational Principles

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.06277v3
• Date: Sun, 23 Feb 2025 17:00:35 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-25 15:48:52.187534
• Title: Solving Functional Optimization with Deep Networks and Variational Principles
• Title（参考訳）: 深いネットワークと変分原理による関数最適化の解法
• Authors: Kawisorn Kamtue, Jose M. F. Moura, Orathai Sangpetch,
• Abstract要約: 機能最適化問題を解くために、変分法を利用してディープニューラルネットワークを設計する方法を示す。 我々のアプローチは、最小時間制御問題のような未知の間隔で定義された関数やサポートテキストエマダッシュである場合に重要である。 地上データに頼ることなく、教師なしでCalVNetを訓練できることが示される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.2633434651741688
• License:
• Abstract: Can neural networks solve math problems using first a principle alone? This paper shows how to leverage the fundamental theorem of the calculus of variations to design deep neural networks to solve functional optimization without requiring training data (e.g., ground-truth optimal solutions). Our approach is particularly crucial when the solution is a function defined over an unknown interval or support\textemdash such as in minimum-time control problems. By incorporating the necessary conditions satisfied by the optimal function solution, as derived from the calculus of variation, in the design of the deep architecture, CalVNet leverages overparameterized neural networks to learn these optimal functions directly. We validate CalVNet by showing that, without relying on ground-truth data and simply incorporating first principles, it successfully derives the Kalman filter for linear filtering, the bang-bang optimal control for minimum-time problems, and finds geodesics on manifolds. Our results demonstrate that CalVNet can be trained in an unsupervised manner, without relying on ground-truth data, establishing a promising framework for addressing general, potentially unsolved functional optimization problems that still lack analytical solutions.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークは、第一原理だけで数学の問題を解決することができるのか? 本稿では、変分法の基本定理を利用して深層ニューラルネットワークを設計し、学習データ(例えば、地道最適解)を必要とせずに機能最適化を解く方法について述べる。 我々のアプローチは、最小時間制御問題のような未知の間隔で定義された関数やサポート\textemdashの場合、特に重要である。 変分法から導かれる最適関数解で満たされる必要条件を深いアーキテクチャの設計に組み込むことで、CalVNetは過パラメータニューラルネットワークを活用してこれらの最適関数を直接学習する。 基礎構造データに頼らず、第一原理を単に取り入れただけで、最小時間問題に対するバンバンバン最適制御である線形フィルタリングのためのカルマンフィルタを導出し、多様体上の測地線を求めることを示し、CalVNetを検証する。 この結果から,CalVNetは,解析的解法を欠いた汎用的,潜在的に未解決な機能最適化問題に対処するための,有望な枠組みを確立した。

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