論文の概要: Third moments of qudit Clifford orbits and 3-designs based on magic orbits
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.13575v1
- Date: Thu, 17 Oct 2024 14:11:37 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-18 13:18:00.741997
- Title: Third moments of qudit Clifford orbits and 3-designs based on magic orbits
- Title（参考訳）: クディット・クリフォード軌道の第3モーメントとマジック軌道に基づく3次元設計
- Authors: Huangjun Zhu, Chengsi Mao, Changhao Yi,
- Abstract要約: 局所$d$が奇素次元であるとき、qudit Clifford群は2-次元であるが3-次元ではない。
この区別とクリフォード軌道への拡張は、量子情報処理における多くの応用に深い意味を持つ。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: When the local dimension $d$ is an odd prime, the qudit Clifford group is only a 2-design, but not a 3-design, unlike the qubit counterpart. This distinction and its extension to Clifford orbits have profound implications for many applications in quantum information processing. In this work we systematically delve into general qudit Clifford orbits with a focus on the third moments and potential applications in shadow estimation. First, we introduce the shadow norm to quantify the deviations of Clifford orbits from 3-designs and clarify its properties. Then, we show that the third normalized frame potential and shadow norm are both $\mathcal{O}(d)$ for any Clifford orbit, including the orbit of stabilizer states, although the operator norm of the third normalized moment operator may increase exponentially with the number $n$ of qudits when $d\neq 2\mod 3$. Moreover, we prove that the shadow norm of any magic orbit is upper bounded by the constant $15/2$, so a single magic gate can already eliminate the $\mathcal{O}(d)$ overhead in qudit shadow estimation and bridge the gap between qudit systems and qubit systems. Furthermore, we propose simple recipes for constructing approximate and exact 3-designs (with respect to three figures of merit simultaneously) from one or a few Clifford orbits. Notably, accurate approximate 3-designs can be constructed from only two Clifford orbits. For an infinite family of local dimensions, exact 3-designs can be constructed from two or four Clifford orbits. In the course of study, we clarify the key properties of the commutant of the third Clifford tensor power and the underlying mathematical structures.
- Abstract（参考訳）: 局所次元 $d$ が奇素数であるとき、クディット・クリフォード群は2-位数であるが、3-位数ではない。
この区別とクリフォード軌道への拡張は、量子情報処理における多くの応用に深い意味を持つ。
この研究において、我々は第3モーメントと潜在的なシャドウ推定への応用に焦点をあてて、一般的なクディット・クリフォード軌道を体系的に探索した。
まず、3つの設計からクリフォード軌道の偏差を定量化し、その性質を明らかにするために影ノルムを導入する。
そして、第3の正規化フレームポテンシャルと影ノルムが、安定化状態の軌道を含むクリフォード軌道に対して$\mathcal{O}(d)$であることを示すが、第3の正規化モーメント作用素の作用素ノルムは、$d\neq 2\mod 3$のときのクォーディット数$n$で指数関数的に増加する。
さらに、任意のマジック軌道のシャドウノルムが定数15/2$で上界であることを証明するので、1つのマジックゲートは、クディットのシャドウ推定における$\mathcal{O}(d)$オーバーヘッドを排除し、クディット系とキュービット系の間のギャップを埋めることができる。
さらに、1つまたは数個のクリフォード軌道から近似的かつ正確な3つの設計(同時に3つの図形について)を構築するための簡単なレシピを提案する。
特に、正確な3つの設計は2つのクリフォード軌道から構築することができる。
無限の局所次元の族に対して、正確な3つの設計はクリフォード軌道の2つまたは4つの軌道から構成することができる。
研究の過程では、第3クリフォードテンソルパワーの可換体の重要な性質と基礎となる数学的構造を明らかにする。
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