論文の概要: Approximate 3-designs and partial decomposition of the Clifford group representation using transvections

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.13678v2
• Date: Sun, 19 Jun 2022 20:38:58 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-06 19:32:50.145067
• Title: Approximate 3-designs and partial decomposition of the Clifford group representation using transvections
• Title（参考訳）: 対流を用いたクリフォード群表現の近似3次元設計と部分分解
• Authors: Tanmay Singal and Min-Hsiu Hsieh
• Abstract要約: Scheme はランダムな Pauli を実装し、その後状態ツイリングを用いてランダムなトランスベクション Clifford を実装した。 このスキームが$k$倍に実装された場合、$k rightarrow infty$ limit において、全体的なスキームは、一意的な$3$設計を実装していることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.823143667165382
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study a scheme to implement an asymptotic unitary 3-design. The scheme implements a random Pauli once followed by the implementation of a random transvection Clifford by using state twirling. Thus the scheme is implemented in the form of a quantum channel. We show that when this scheme is implemented $k$ times, then, in the $k \rightarrow \infty$ limit, the overall scheme implements a unitary $3$-design. This is proved by studying the eigendecomposition of the scheme: the $+1$ eigenspace of the scheme coincides with that of an exact unitary $3$-design, and the remaining eigenvalues are bounded by a constant. Using this we prove that the scheme has to be implemented approximately $\mathcal{O}(m + \log 1/\epsilon)$ times to obtain an $\epsilon$-approximate unitary $3$-design, where $m$ is the number of qubits, and $\epsilon$ is the diamond-norm distance of the exact unitary $3$-design. Also, the scheme implements an asymptotic unitary $2$-design with the following convergence rate: it has to be sampled $\mathcal{O}(\log 1/\epsilon)$ times to be an $\epsilon$-approximate unitary $2$-design. Since transvection Cliffords are a conjugacy class of the Clifford group, the eigenspaces of the scheme's quantum channel coincide with the irreducible invariant subspaces of the adjoint representation of the Clifford group. Some of the subrepresentations we obtain are the same as were obtained in J. Math. Phys. 59, 072201 (2018), whereas the remaining are new invariant subspaces. Thus we obtain a partial decomposition of the adjoint representation for $3$ copies for the Clifford group. Thus, aside from providing a scheme for the implementation of unitary $3$-design, this work is of interest for studying representation theory of the Clifford group, and the potential applications of this topic. The paper ends with open questions regarding the scheme and representation theory of the Clifford group.
• Abstract（参考訳）: 我々は漸近的ユニタリ3設計を実現するためのスキームについて検討する。 このスキームは一度ランダムなパウリを実装し、その後状態ツイリングを用いてランダムな対流クリフォードを実装した。 したがって、このスキームは量子チャネルの形で実装される。 このスキームが $k$ で実装された場合、$k \rightarrow \infty$ の制限において、全体的なスキームは一元的な$$-design を実装している。 これはスキームの固有分解を研究することで証明される:$+1$固有空間は正確なユニタリな3$-設計のそれと一致し、残りの固有値は定数で有界である。 これを用いて、このスキームを約$\mathcal{o}(m + \log 1/\epsilon)$で実装し、$\epsilon$-approximateユニタリデザイン、$m$がキュービット数、$\epsilon$が正確なユニタリデザインのダイヤモンドノルム距離であることが証明される。 また、このスキームは、以下の収束率で漸近的ユニタリ 2$-設計を実装している:$\mathcal{O}(\log 1/\epsilon)$ times to be a $\epsilon$-approximate Unitary $2$-設計である。 横断クリフォードはクリフォード群の共役類であるため、スキームの量子チャネルの固有空間はクリフォード群の随伴表現の既約不変部分空間と一致する。 私たちが得られる部分表現のいくつかは、J. Mathで得られたものと同じである。 Phys 59, 072201 (2018) であり、残りは新しい不変部分空間である。 したがって、クリフォード群に対する3ドルのコピーに対する随伴表現の部分分解が得られる。 したがって、ユニタリな3$-設計の実装のスキームを提供する以外に、この研究はクリフォード群の表現論とこのトピックの潜在的な応用を研究することに興味がある。 論文は、クリフォード群のスキームと表現論に関する公然とした質問で終わる。

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