論文の概要: Nearly tight bounds for testing tree tensor network states

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.21417v1
• Date: Mon, 28 Oct 2024 18:13:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-30 13:40:14.098454
• Title: Nearly tight bounds for testing tree tensor network states
• Title（参考訳）: 木テンソルネットワーク状態のテストのためのほぼタイトな境界
• Authors: Benjamin Lovitz, Angus Lowe,
• Abstract要約: ツリーテンソルネットワーク状態(TTNS)は、シュミットランクが低いから多部量子状態を持つという概念を一般化する。 我々は、未知の純状態が、結合次元が最大$r$の$n$クォーディット上のTTNSであるかどうかをテストするタスクを研究する。 また,少数のコピーに対して一度に実施した測定値を用いて,テストの性能についても検討した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: Tree tensor network states (TTNS) generalize the notion of having low Schmidt-rank to multipartite quantum states, through a parameter known as the bond dimension. This leads to succinct representations of quantum many-body systems with a tree-like entanglement structure. In this work, we study the task of testing whether an unknown pure state is a TTNS on $n$ qudits with bond dimension at most $r$, or is far in trace distance from any such state. We first establish that, independent of the physical dimensions, $O(nr^2)$ copies of the state suffice to acccomplish this task with one-sided error, as in the matrix product state (MPS) test of Soleimanifar and Wright. We then prove that $\Omega(n r^2/\log n)$ copies are necessary for any test with one-sided error whenever $r\geq 2 + \log n$. In particular, this closes a quadratic gap in the previous bounds for MPS testing in this setting, up to log factors. On the other hand, when $r=2$ we show that $\Theta(\sqrt{n})$ copies are both necessary and sufficient for the related task of testing whether a state is a product of $n$ bipartite states having Schmidt-rank at most $r$, for some choice of physical dimensions. We also study the performance of tests using measurements performed on a small number of copies at a time. In the setting of one-sided error, we prove that adaptive measurements offer no improvement over non-adaptive measurements for many properties, including TTNS. We then derive a closed-form solution for the acceptance probability of an $(r+1)$-copy rank test with rank parameter $r$. This leads to nearly tight bounds for testing rank, Schmidt-rank, and TTNS when the tester is restricted to making measurements on $r+1$ copies at a time. For example, when $r=2$ there is an MPS test with one-sided error which uses $O(n^2)$ copies and measurements performed on just three copies at a time.
• Abstract（参考訳）: ツリーテンソルネットワーク状態(TTNS)は、結合次元と呼ばれるパラメータを通して、シュミットランクから多部量子状態への低い量子状態を持つという概念を一般化する。 これにより、木のような絡み合い構造を持つ量子多体系の簡潔な表現が導かれる。 本研究では、未知の純状態が少なくとも$r$の結合次元を持つ$n$クォーディット上のTTNSであるか、あるいはそのような状態から遠く離れた位置にあるかを検証する。 まず、物理的次元とは独立に、Soleimanifar と Wright の行列積状態 (MPS) テストのように、このタスクを片側誤差で補完するために状態サフィスを$O(nr^2)$コピーすることを確立する。 すると、$\Omega(n r^2/\log n)$コピーは、r\geq 2 + \log n$ のとき、片側誤差のある任意のテストに必要であることを証明します。 特に、これは、この設定におけるMPSテストの以前の境界の2次的なギャップを、ログファクタまで埋める。 一方、$r=2$のとき、$\Theta(\sqrt{n})$コピーは、ある状態が$n$二分項状態の積であるかどうかをテストするための関連するタスクに必要かつ十分であることを示す。 また,少数のコピーに対して一度に実施した測定値を用いて,テストの性能についても検討した。 一方の誤差の設定において、TTNSを含む多くの特性に対して適応的測定が非適応的測定よりも改善しないことを示す。 次に、ランクパラメータ$r$の$(r+1)$-copyランクテストの受け入れ確率に対する閉形式解を導出する。 これは、テスターが一度に$r+1$コピーで測定することを制限するとき、テストランク、Schmidt-rank、TTNSにほぼ厳しい制限をもたらす。 例えば$r=2$の場合、一方のエラーを伴うMPSテストがあり、1回にたった3つのコピーで実行される$O(n^2)$コピーと測定を使用する。

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