論文の概要: On lower bounds of the density of planar periodic sets without unit distances

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.13248v1
• Date: Wed, 20 Nov 2024 12:07:19 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-21 16:11:30.571654
• Title: On lower bounds of the density of planar periodic sets without unit distances
• Title（参考訳）: 単位距離を持たない平面周期集合の密度の下界について
• Authors: Alexander Tolmachev,
• Abstract要約: 平面トーラスから構築したグラフ上での最大独立集合(MIS)問題として問題を再構成することにより、$m_1(mathbbR2)$を推定する新しいアプローチを導入する。 提案手法の理論的正当性によって支持された実験結果は,十分に広い範囲のパラメータに対して,この手法が既知の下界を改善できないことを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 55.2480439325792
• License:
• Abstract: Determining the maximal density $m_1(\mathbb{R}^2)$ of planar sets without unit distances is a fundamental problem in combinatorial geometry. This paper investigates lower bounds for this quantity. We introduce a novel approach to estimating $m_1(\mathbb{R}^2)$ by reformulating the problem as a Maximal Independent Set (MIS) problem on graphs constructed from flat torus, focusing on periodic sets with respect to two non-collinear vectors. Our experimental results supported by theoretical justifications of proposed method demonstrate that for a sufficiently wide range of parameters this approach does not improve the known lower bound $0.22936 \le m_1(\mathbb{R}^2)$. The best discrete sets found are approximations of Croft's construction. In addition, several open source software packages for MIS problem are compared on this task.
• Abstract（参考訳）: 単位距離を持たない平面集合の最大密度$m_1(\mathbb{R}^2)$を決定することは、組合せ幾何学の基本的な問題である。 本稿では,この量に対する下限について検討する。 平面トーラスから構築されたグラフ上の最大独立集合 (MIS) 問題として問題を再構成することにより、$m_1(\mathbb{R}^2)$を推定する新しいアプローチを導入する。 提案手法の理論的正当性によって支持された実験結果は、十分に幅広いパラメータに対して、この手法が既知の下界$0.22936 \le m_1(\mathbb{R}^2)$を改善できないことを示す。 最良の離散集合はクロフトの構成の近似である。 さらに,MIS問題に対するいくつかのオープンソースソフトウェアパッケージを比較した。

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