論文の概要: Stabilizing and Solving Inverse Problems using Data and Machine Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.04409v1
• Date: Thu, 05 Dec 2024 18:31:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-06 14:38:58.404630
• Title: Stabilizing and Solving Inverse Problems using Data and Machine Learning
• Title（参考訳）: データと機械学習を用いた逆問題の安定化と解決
• Authors: Erik Burman, Mats G. Larson, Karl Larsson, Carl Lundholm,
• Abstract要約: 境界条件が不明な非線形偏微分方程式 (PDE) に対する解の再構成を含む逆問題を考える。 この集合データを活用するために、まず、線形展開において適切な分解(POD)を用いて境界データを圧縮する。 次に,低次元潜在空間におけるデータセットのパラメトリゼーションを提供するオートエンコーダを用いて,拡張係数の非線形低次元構造を同定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We consider an inverse problem involving the reconstruction of the solution to a nonlinear partial differential equation (PDE) with unknown boundary conditions. Instead of direct boundary data, we are provided with a large dataset of boundary observations for typical solutions (collective data) and a bulk measurement of a specific realization. To leverage this collective data, we first compress the boundary data using proper orthogonal decomposition (POD) in a linear expansion. Next, we identify a possible nonlinear low-dimensional structure in the expansion coefficients using an auto-encoder, which provides a parametrization of the dataset in a lower-dimensional latent space. We then train a neural network to map the latent variables representing the boundary data to the solution of the PDE. Finally, we solve the inverse problem by optimizing a data-fitting term over the latent space. We analyze the underlying stabilized finite element method in the linear setting and establish optimal error estimates in the $H^1$ and $L^2$-norms. The nonlinear problem is then studied numerically, demonstrating the effectiveness of our approach.
• Abstract（参考訳）: 境界条件が不明な非線形偏微分方程式 (PDE) に対する解の再構成を含む逆問題を考える。 直接境界データの代わりに、典型的な解(座標データ)に対する境界観測の大規模なデータセットと、特定の実現のバルク測定が提供される。 この集合データを活用するために、まず線形展開において適切な直交分解(POD)を用いて境界データを圧縮する。 次に,低次元潜在空間におけるデータセットのパラメトリゼーションを提供するオートエンコーダを用いて,拡張係数の非線形低次元構造を同定する。 次にニューラルネットワークをトレーニングし、境界データを表す潜伏変数をPDEの解にマッピングする。 最後に、潜在空間上のデータ適合項を最適化することにより、逆問題を解決する。 線形設定における安定化有限要素法を解析し,$H^1$および$L^2$-normsの最適誤差推定値を確立する。 非線形問題を数値的に研究し,本手法の有効性を実証する。

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