論文の概要: Stabilizing and Solving Inverse Problems using Data and Machine Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.04409v2
• Date: Fri, 14 Feb 2025 15:22:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-17 18:05:01.872345
• Title: Stabilizing and Solving Inverse Problems using Data and Machine Learning
• Title（参考訳）: データと機械学習を用いた逆問題の安定化と解決
• Authors: Erik Burman, Mats G. Larson, Karl Larsson, Carl Lundholm,
• Abstract要約: 境界条件が不明な非線形偏微分方程式 (PDE) に対する解の再構成を含む逆問題を考える。 この集合データを活用するために、まず、線形展開において適切な分解(POD)を用いて境界データを圧縮する。 我々は,低次元潜在空間におけるデータセットのパラメトリゼーションを提供するオートエンコーダを用いて,拡張係数の非線形低次元構造を同定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We consider an inverse problem involving the reconstruction of the solution to a nonlinear partial differential equation (PDE) with unknown boundary conditions. Instead of direct boundary data, we are provided with a large dataset of boundary observations for typical solutions (collective data) and a bulk measurement of a specific realization. To leverage this collective data, we first compress the boundary data using proper orthogonal decomposition (POD) in a linear expansion. Next, we identify a possible nonlinear low-dimensional structure in the expansion coefficients using an autoencoder, which provides a parametrization of the dataset in a lower-dimensional latent space. We then train an operator network to map the expansion coefficients representing the boundary data to the finite element solution of the PDE. Finally, we connect the autoencoder's decoder to the operator network which enables us to solve the inverse problem by optimizing a data-fitting term over the latent space. We analyze the underlying stabilized finite element method in the linear setting and establish an optimal error estimate in the $H^1$-norm. The nonlinear problem is then studied numerically, demonstrating the effectiveness of our approach.
• Abstract（参考訳）: 境界条件が不明な非線形偏微分方程式 (PDE) に対する解の再構成を含む逆問題を考える。 直接境界データの代わりに、典型的な解(座標データ)に対する境界観測の大規模なデータセットと、特定の実現のバルク測定が提供される。 この集合データを活用するために、まず線形展開において適切な直交分解(POD)を用いて境界データを圧縮する。 次に,低次元潜在空間におけるデータセットのパラメトリゼーションを提供するオートエンコーダを用いて,拡張係数の非線形低次元構造を同定する。 次に、演算子ネットワークをトレーニングし、境界データを表す拡張係数をPDEの有限要素解にマッピングする。 最後に、オートエンコーダのデコーダを演算子ネットワークに接続し、潜在空間上のデータ適合項を最適化することにより、逆問題の解決を可能にする。 線形設定における安定化有限要素法を解析し,$H^1$-normで最適誤差推定値を確立する。 非線形問題を数値的に研究し,本手法の有効性を実証する。

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