論文の概要: TAE: A Model-Constrained Tikhonov Autoencoder Approach for Forward and Inverse Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.07010v1
• Date: Mon, 09 Dec 2024 21:36:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-11 14:35:41.942797
• Title: TAE: A Model-Constrained Tikhonov Autoencoder Approach for Forward and Inverse Problems
• Title（参考訳）: TAE: モデル制約付きTikhonovオートエンコーダアプローチ
• Authors: Hai V. Nguyen, Tan Bui-Thanh,
• Abstract要約: 工学や科学の分野では、前方・逆問題のリアルタイム解法が不可欠である。 機械学習サロゲートモデルは従来の方法に代わる有望な代替手段として登場し、計算時間を大幅に短縮した。 これらのモデルは通常、さまざまなシナリオをまたいだ堅牢な一般化を実現するために、広範なトレーニングデータセットを必要とします。 本稿では,Tikhonov 自己エンコーダモデルに制約のある新しいフレームワーク TAE を提案する。
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• Abstract: Efficient real-time solvers for forward and inverse problems are essential in engineering and science applications. Machine learning surrogate models have emerged as promising alternatives to traditional methods, offering substantially reduced computational time. Nevertheless, these models typically demand extensive training datasets to achieve robust generalization across diverse scenarios. While physics-based approaches can partially mitigate this data dependency and ensure physics-interpretable solutions, addressing scarce data regimes remains a challenge. Both purely data-driven and physics-based machine learning approaches demonstrate severe overfitting issues when trained with insufficient data. We propose a novel Tikhonov autoencoder model-constrained framework, called TAE, capable of learning both forward and inverse surrogate models using a single arbitrary observation sample. We develop comprehensive theoretical foundations including forward and inverse inference error bounds for the proposed approach for linear cases. For comparative analysis, we derive equivalent formulations for pure data-driven and model-constrained approach counterparts. At the heart of our approach is a data randomization strategy, which functions as a generative mechanism for exploring the training data space, enabling effective training of both forward and inverse surrogate models from a single observation, while regularizing the learning process. We validate our approach through extensive numerical experiments on two challenging inverse problems: 2D heat conductivity inversion and initial condition reconstruction for time-dependent 2D Navier-Stokes equations. Results demonstrate that TAE achieves accuracy comparable to traditional Tikhonov solvers and numerical forward solvers for both inverse and forward problems, respectively, while delivering orders of magnitude computational speedups.
• Abstract（参考訳）: 工学や科学の応用において、前方および逆問題に対する効率的なリアルタイム解法が不可欠である。 機械学習サロゲートモデルは従来の方法に代わる有望な代替手段として登場し、計算時間を大幅に短縮した。 しかしながら、これらのモデルは通常、さまざまなシナリオをまたいだ堅牢な一般化を実現するために、広範なトレーニングデータセットを必要とします。 物理ベースのアプローチは、このデータ依存を部分的に軽減し、物理解釈可能なソリューションを確保することができるが、データレシエーションの不足に対処することは依然として課題である。 純粋にデータ駆動型および物理ベースの機械学習アプローチは、不十分なデータでトレーニングされた時に深刻なオーバーフィットの問題を示す。 本稿では,Tikhonov 自己エンコーダモデルに制約のある新しいフレームワーク TAE を提案する。 我々は,線形ケースに対する提案手法に対して,前方および逆推論誤差境界を含む包括的理論基盤を開発する。 比較分析では、純粋なデータ駆動型およびモデル制約型アプローチの等価な定式化を導出する。 我々のアプローチの中心はデータランダム化戦略であり、これはトレーニングデータ空間を探索するための生成機構として機能し、学習過程を規則化しながら、単一の観測から前方および逆代理モデルの効果的なトレーニングを可能にする。 2次元熱伝導率インバージョンと時間依存型2次元ナビエ・ストークス方程式の初期条件再構成という2つの難解な逆問題に関する広範な数値実験により,本手法の有効性を検証した。 その結果,TAEは,逆問題と前方問題の両方に対して,従来のTikhonovソルバと数値フォワードソルバに匹敵する精度を達成し,計算速度を最大化することを示した。

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