論文の概要: Neural Discovery in Mathematics: Do Machines Dream of Colored Planes?

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.18527v1
• Date: Thu, 30 Jan 2025 17:44:34 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-31 15:13:51.811713
• Title: Neural Discovery in Mathematics: Do Machines Dream of Colored Planes?
• Title（参考訳）: 数学におけるニューラルディスカバリー:機械は色付き平面を夢見るのか?
• Authors: Konrad Mundinger, Max Zimmer, Aldo Kiem, Christoph Spiegel, Sebastian Pokutta,
• Abstract要約: ニューラルネットワークがHudwiger-Nelson問題のケーススタディを通じて数学的発見を促進する方法を示す。 ニューラルネットワークを近似器として使用し、この混合離散連続幾何着色問題を最適化タスクとして再構成する。 これにより、許容可能な構成の勾配に基づく探索が可能となり、2つの新しい6色の発見につながった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 21.02602149305327
• License:
• Abstract: We demonstrate how neural networks can drive mathematical discovery through a case study of the Hadwiger-Nelson problem, a long-standing open problem from discrete geometry and combinatorics about coloring the plane avoiding monochromatic unit-distance pairs. Using neural networks as approximators, we reformulate this mixed discrete-continuous geometric coloring problem as an optimization task with a probabilistic, differentiable loss function. This enables gradient-based exploration of admissible configurations that most significantly led to the discovery of two novel six-colorings, providing the first improvements in thirty years to the off-diagonal variant of the original problem (Mundinger et al., 2024a). Here, we establish the underlying machine learning approach used to obtain these results and demonstrate its broader applicability through additional results and numerical insights.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークがハドウィガー・ネルソン問題(英語版)のケーススタディを通じて数学的発見をいかに進めるかを実証する。これは、離散幾何学と単色単位距離対を避けるために平面を着色することに関するコンビネータ学の長年の未解決問題である。 ニューラルネットワークを近似器として使用し、この混合離散連続幾何色付け問題を確率的・微分可能な損失関数を用いた最適化タスクとして再構成する。 これにより、2つの新しい6色の変色が発見され、30年ぶりに元の問題(Mundinger et al , 2024a)の対角線外変色に改良が加えられた。 ここでは、これらの結果を得るための基盤となる機械学習アプローチを確立し、さらなる結果と数値的な洞察を通じて、その適用性を実証する。

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