論文の概要: Tight Bounds for Jensen's Gap with Applications to Variational Inference

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.03988v2
• Date: Sun, 09 Nov 2025 13:35:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-11 19:11:14.1035
• Title: Tight Bounds for Jensen's Gap with Applications to Variational Inference
• Title（参考訳）: Jensenのギャップのタイト境界と変分推論への応用
• Authors: Marcin Mazur, Tadeusz Dziarmaga, Piotr Kościelniak, Łukasz Struski,
• Abstract要約: 我々は、関数と確率変数の両方に対する幅広い仮定を満たすイェンセンのギャップに対して、新しい一般境界を提案する。 我々は,本手法の性能に関する解析的および実証的な証拠を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.6620310550061403
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Since its original formulation, Jensen's inequality has played a fundamental role across mathematics, statistics, and machine learning, with its probabilistic version highlighting the nonnegativity of the so-called Jensen's gap, i.e., the difference between the expectation of a convex function and the function at the expectation. Of particular importance is the case when the function is logarithmic, as this setting underpins many applications in variational inference, where the term variational gap is often used interchangeably. Recent research has focused on estimating the size of Jensen's gap and establishing tight lower and upper bounds under various assumptions on the underlying function and distribution, driven by practical challenges such as the intractability of log-likelihood in graphical models like variational autoencoders (VAEs). In this paper, we propose new, general bounds for Jensen's gap that accommodate a broad range of assumptions on both the function and the random variable, with special attention to exponential and logarithmic cases. We provide both analytical and empirical evidence for the performance of our method. Furthermore, we relate our bounds to the PAC-Bayes framework, providing new insights into generalization performance in probabilistic models.
• Abstract（参考訳）: 元々の定式化以降、イェンセンの不等式は数学、統計学、機械学習において基本的な役割を担い、その確率的バージョンは、いわゆるイェンセンのギャップの非負性、すなわち凸関数の期待値と期待値の関数との差を強調する。 特に重要なことは、関数が対数的である場合であり、この設定は変分推論における多くの応用の基盤となる。 近年の研究では、変分オートエンコーダ(VAEs)のようなグラフィカルモデルにおけるログライクリフの抽出可能性などの実践的な課題によって、Jensenのギャップの大きさを推定し、基礎となる関数と分布に関する様々な仮定の下で、下限と上限の厳密な境界を確立することに焦点が当てられている。 本稿では,関数と確率変数の両方に対する広い範囲の仮定を満たす,Jensenのギャップに対する新しい一般境界を提案し,指数的および対数的ケースに特に注目する。 我々は,本手法の性能に関する解析的および実証的な証拠を提供する。 さらに、我々はPAC-Bayesフレームワークとの境界を関連付け、確率モデルにおける一般化性能に関する新たな洞察を提供する。

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